※举例讨论上述点集的性质 例3证明：对任何ScR2, U°(x;8) OS恒为闭集. 证如图16-4所示，设xo U(0;6) 为OS的任一聚点，欲证 os xo∈OS(即x,亦为S的界 图16-4 点).为此ε>0，由聚点定义，存在 y∈U(x;8)∩aS. 再由y为界点的定义，U(y;6)cU(xo),在 前页 后页 返回
前页 后页 返回 ※ 举例讨论上述点集的性质 例3 证明: 对任何 2 S R , S 恒为闭集. 证 如图16 – 4 所示, 设 0 x 为 S 的任一聚点，欲证 x0S （即 x0 亦为 S 的界 点）. 为此 0, 由聚点定义，存在 0 y U x S ( ; ) . S S 0 x 0 U x( ; ) U y( ; ) y 图 16 –４ y 0 再由 为界点的定义, U y U x ( ; ) ( ; ) , 在
U(y;6)内既有S的点，又有非S的点.由此推知在 U(xo;8)内既有S的点，又有非S的点.所以，由e 的任意性，'o为S的界点，即x∈OS,也就证得OS 为闭集. 注类似地可以证明：对任何点集ScR2,导集Sd 亦恒为闭集.（留作习题） *例4设EcR2.试证E为闭集的充要条件是： E=EUaE或Ec=int(Ec). 前页 后页 返回
前页 后页 返回 U y( ; ) 内既有 S 的点, 又有非 S 的点. 由此推知在 x0 S 0 的任意性, 为 的界点, 即 x S , 也就证得 S 为闭集． 注 类似地可以证明: 对任何点集 2 d S S R , 导集 亦恒为闭集. ( 留作习题 ) 2 例4 设 E R . 试证 E 为闭集的充要条件是： c int ( ). c E E E E E = = 或 U x( ; ) 0 内既有 S 的点, 又有非 S 的点. 所以, 由