为聚点；既非聚点，又非孤立点，则必为外点 例2设点集E={(p,g)川p,q为任意整数}显然， E中所有点(p,q)全为E的孤立点；并有 E=,intE=,OE=E. ※一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质，可来定义一 些重要的点集。 开集—若E所属的每一点都是E的内点（即E= intE),则称E为开集， 前页 返回
前页 后页 返回 为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点. 例2 设点集 E p q p q = ( , ) , . 为任意整数 显然, E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有 d E E E E = = = , int , . ※ 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集
闭集一若E的所有聚点都属于E(即E=E),则 称E为闭集.若E没有聚点（即E=☑），这时也称 E为闭集 例如前面列举的点集中，(2)式所示的C是开集；3) 式所示的S是闭集；(4)式所示的D既非开集，又 非闭集；而(1)式所示的R既是开集又是闭集.在 平面点集中，只有R2与☑是既开又闭的. 开域—若非空开集E具有连通性，即E中任意两 点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接， 前页 后 返回
前页 后页 返回 E 为闭集. 例如前面列举的点集中, (2)式所示的 C 是开集; (3) 式所示的 S 是闭集; (4)式所示的 D 既非开集, 又 非闭集; 而(1)式所示的 R 2 既是开集又是闭集. 在 平面点集中, 只有 R 2 与 是既开又闭的. 开域——若非空开集 E 具有连通性, 即 E 中任意两 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 闭集——若 E 的所有聚点都属于 E ( ), 即E E = 则 称 E 为闭集. 若 E 没有聚点 d ( ), 即E = 这时也称
则称E为开域.简单地说，开域就是非空连通开集， 闭域一开域连同其边界所成的集合称为闭域。 区域— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所 成的集合，统称为区域 不难证明：闭域必为闭集；而闭集不一定为闭域 在前述诸例中，(2)式的C是开域，3)式的S是闭 域，()式的R2既是开域又是闭域，(4)式的D是区 域（但既不是开域又不是闭域）.又如 G={(x,)川y>0}, (5 前页 返回
前页 后页 返回 则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集. 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域—— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所 成的集合, 统称为区域. 不难证明: 闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域. 在前述诸例中, (2)式的 C 是开域, (3)式的 S 是闭 域, (1)式的 R 2 既是开域又是闭域, (4)式的 D 是区 域 (但既不是开域又不是闭域). 又如 G x y xy = ( , ) | 0 , (5)
它是I、Ⅲ两象限之并集.虽然它是开集，但因 不具有连通性，所以它既不是开域，也不是区域： 有界点集—对于平面点集E,若3r>0,使得 E CU(O;r), 其中O是坐标原点（也可以是其他固定点），则称E 为有界点集.否则就为无界点集（请具体写出定义） 前面(2)，(3)，(4)都是有界集，(1)与（⑤）是无界集. E为有界点集的另一等价说法是：存在矩形区域 [a,b]x[c,dE. 前页 返回
前页 后页 返回 它是 I、 III 两象限之并集. 虽然它是开集, 但因 不具有连通性, 所以它既不是开域, 也不是区域. 有界点集——对于平面点集 E, 若 r 0, 使得 E U O r ( ; ), 其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点), 则称 E 为有界点集. 否则就为无界点集(请具体写出定义). 前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 与 (5) 是无界集. E 为有界点集的另一等价说法是: 存在矩形区域 [ , ] [ , ] . a b c d E
此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映， 所谓点集E的直径，就是 d(E)=sup p(P,P2), B,P2∈E 其中p(P1,P2)是P1c1,y)与P2心2，Jy2)之间的距 离，即 p(D,P)=Vx-x2)2+Oy,-y2). 于是，当且仅当dE)为有限值时，E为有界点集. 根据距离的定义，不难证明如下三角形不等式： p(P,P2)≤p(P,P3)+p(P2,P3). 前页 返回
前页 后页 返回 此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映, 所谓点集 E 的直径, 就是 1 2 1 2 , ( ) sup ( , ), P P E d E P P = 其中ρ(P1 , P2 ) 是 P1 (x1 , y1 ) 与 P2 (x2 , y2 )之间的距 离, 即 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) . P P x x y y = − + − 于是, 当且仅当 d(E) 为有限值时, E为有界点集. 根据距离的定义, 不难证明如下三角形不等式: 1 2 1 3 2 3 ( , ) ( , ) ( , ). P P P P P P +