吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 48-5-3 §3 相似矩阵

例1求一可逆矩阵P,把 -2 11 A= -41 化成对角矩阵 解①由4一E=0,求A的全部特征值 -2-入1 A-入E 2-入0 -4 13-入 =(2-入)22-入-2) =-(入+102-2)2 所以4的特征值为入=-1，入2=入3=2

例1 求一可逆矩阵P,把           − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A 化成对角矩阵. 解 ①由|A－λE|=0,求A的全部特征值. − −  −  − −  −  = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A E − −  − −  = −  4 3 2 1 (2 ) (2 )( 2) 2 = −  − − 2 = −( +1)( − 2) 1, 2. 所以A的特征值为 = − 2 = 3 =

②由(A-入E)x=0,求A的特征向量 当入，=-时，解方程(A+E)x=0由 : 得基础解系P 当)2=入3=2时，解方程(A-2E)x=0由 -41 -411 A-2E= 0 0 0 0 -4 1 0 0

② 由(A−E)x = 0,求A的特征向量. 当1 = −1时,解方程(A+ E)x = 0.由           − − + = 4 1 4 0 3 0 1 1 1 A E ～           − 0 0 0 0 1 0 1 0 1 当2 = 3 = 2时,解方程(A− 2E)x = 0.由           − − − = 4 1 1 0 0 0 4 1 1 A 2E ～          − 0 0 0 0 0 0 4 1 1 . 1 0 1 1           得基础解系P =

得基础解系P ③把P,卫，P拼成矩阵P,即 -1 则PAP= 2

. 4 0 1 , 1 1 0 2 3           =           − 得基础解系 P = P ③ 把P1 , P2 , P3 拼成矩阵P,即 , 1 1 4 0 1 0 1 0 1           − P = . 0 0 2 0 2 0 1 0 0 1          − = − 则P AP

例2设矩阵A与B相似，其中 -20 0 (1)求x和的值，(2)求可逆矩阵P,使PAP=B 解(I)因为A∽B,所以B的主对角线元素是A的特征值 因此有 -2+x+1=-1+2+y A-入E=A+E=0

例2 设矩阵A与B相似,其中 , 3 1 1 2 2 2 0 0          − A = x . 0 0 0 2 0 1 0 0          − = y B （1）求x和y的值, 解 (1)因为A∽B,所以B的主对角线元素是A的特征值. 因此有     = + = − + + = − + + 0 2 1 1 2 A- E A E x y (2) , . 1 P P AP = B 求可逆矩阵 使 −

x-y=2 x=0 整理得 解得 x=0 y=-2 (2)由于A∽B,所以A的特征值为=-1，入2=2，入3=-2. 由(A-入Ex=0,求A的特征值 当入=-时 -10 0 00 A+E= 212 2 31 2 得基础解系：P= 2

(2) 由于A∽B,所以A的特征值为 1, 2, 2. 1 = − 2 = 3 = − 由(A- E)x = 0,求A的特征值. 当1 = −1时          − + = 2 2 1 0 3 1 2 1 0 A E ～           0 2 1 0 0 0 0 1 0 得基础解系: , 1 2 0           − P1 = , 0 2    = − = x x y 整理得 . 2 0    = − = y x 解得