第五章导数和微分 15.(图5-1)设有一吊桥,其铁链成抛物线 型,两端系于相距100米高度相同的支柱上,铁 链之最低点在悬点下10米处,求铁链与支柱所 成之角 解取铁链最低点处切线为x轴法线为y 轴1米为单位长,则铁链方程是y=2302悬点坐 图5-1 标为A(.0)0(-5.0因y==语这 样铁链在A点的切线斜率为y(50)=3倾斜角0=am3,于是铁 链在A点与支柱的夹角是p=-0=5-atm2,在B点的夹角相同 16(图5-2)在曲线y=x3上取一点P,过 P的切线与该曲线交于Q,证明:曲线在Q处的 切线斜率恰好是在P处切线斜率的四倍 证设P点坐标为(x0,x3)Q点坐标为(x1, x)由y=3x2知y(x0)=3x,过P点曲线 的切线方程为y-x=3x6(x-x0),又Q点也 在切线上,故有x1-x=3x6(x1-x0).从而x 图5-2 =-2x0于是:y(-2x0)=12x=4y(x0) 可见曲线在Q处的切线斜率的四倍 S2求导法则 1.求下列函数在指定点的导数 (1)设f(x)=3x4+2x3+5求f(0),f(1); (2)设f(x)=,求f(0),f(x); cosT (3)设f(x)=√1+√x求f(x),f(1),f(4) 解(1)f(x)=12x3+6x2f(0)=0f(1)=18
§2求导法则 (2)f(x)=x+2xsnx,f(0)=1,f(x)=-1 cos r (3)f(x)= f(1)= 1 4√2 2.求下列函数的导数 (1)y=3x2+2 (2) (3)y =x+nr (4)y= 2 (5)y=xlog (6)y=ecos (7)y=(x2+1)(3x-1)(1-x3)(8)y tanT (9)y= 1- cosz -Inx (11)y=(vr+1)arctan inx cosr 解(1) 6 ()y=(2+x+)-(2+2n)=x2+4+ (3)y=nxx-1+n=n(xn-1+1)(4)y 1m+1 5)y=3xx+m,=3x3kgx+品 (6)y=ecosI-esinr e(oos..r) (7)y=-3x6+x5-3x4+4x3-x2+3x-1 y=-18x5+5x4-12x3+12x2-2x+3 (8)y=2sec'x-tanr (9)y=(1-cos.x)2 1-cosx -sinr 1-Inx)+-(1+hnz (10)y (1-lnx)2 2
第五章导数和微分 (11)y'=arctan.t+vI+I 2√x 2x(snx+sz)-(1+x2)( cOs.- SInC (oosr + sinx )2 1+x(oosc-sinz) cosT sinr cosT十sinx 3.求下列函数的导数 (1)y=x√1 (4)y= In(Inx) (5)y= In(sinr) (6)y=lg(x2+x+1) 7)y=ln(x+√x2+1) (8)y=In √1+x- (9)y=(sinz cosx )3 (10)y=cs34x (11)y=sin√1+x (12)y=(sinx2)3 1 (13)y=arcs例王 (14)y=( arctan3)2 (15)y (16)y= arcsin(sin'r) (17)y=e+1 (2 (22)y (23)y= sin(sin(sinz)) (24)y Sinr (25)y=(x-a1)(x-a2)2…(x-an) (26)y asier b arcsin+ binz 解(1)y=√1-x2 110
82求导法则 (2)y=3(x2-1)2·2x=6x(x2-1)2 (3)y=31+x2.2(1x)+g+x2 3(1+x2)2(1+2x-x2) (4)y= Int (5)y=Q=ootr (6)y 2x+1 (x2+x+1)hn10 (8)y=n(+x1=22=m1-√1-x ln(1-√1-x2)-hnx (9)y=3(sinz +oosr)2(oosr -sinx)=3cos2x(sinz +cosx) (10)y=30s24x·(-sin4x)·4=-6094sin8x (11)y=∞√1+ (12)y=3(sinx2)2sx2·2x=6x8x2(sinx2)2 (13)y= (-1 (15)y=- 7.1+(32:3z2=6x2 arctan (14)y=2arctanz 1-x+1+x (16)y= 2sinroosz (sing)2 sina (17)y=c2+1(18)