(2)如果p=0,Vx≠0 n+1 有 n+1 →0(n→∞),级数∑anx(收敛, ax n 从而级数∑anx”绝对收敛.收敛半径R=+0 n=0 (3)如果p=+∞, x≠0,级数∑anx"必发散 n=0 (否则由定理知将有点x≠0使∑|anx"收敛) n=0 收敛半径R=0 定理证毕
(2) 如果 = 0, x 0, 0 ( ), 1 1 → → + + n a x a x n n n n 有 | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x 收敛半径 R = +; (3) 如果 = +, x 0, . 0 n= n 级数 an x 必发散 ( 1 0 | | ) 0 否则由定理 知将有点 使 收敛 = n n x an x 收敛半径 R = 0. 定理证毕
例2求下列幂级数的收敛区间: (1)∑(-1);(2)∑(-nx)y; n=1 (3)∑ (4)∑(-1)”(x-2) n= n 解(1)p=limH=lim =1∴,R=1 n-∞a n→>∞n+1 n 当x=时,级数为∑,该级数收敛 n n: 当x=时,级数为 1 该级数发散 /
例2 求下列幂级数的收敛区间: 解 (1) n n n a a 1 lim + → = 1 lim + = → n n n = 1 R = 1 当x = 1时, 当x = −1时, , ( 1) 1 = − n n n 级数为 , 1 1 n= n 级数为 该级数收敛 该级数发散 (1) ( 1) ; 1 n x n n n = − (2) ( ) ; 1 = − n n nx ; ! (3) 1 n= n n x ) . 2 1 ( 2 (4) ( 1) 1 n n n n x n − − =
故收敛区间是(-1,1 oo (2)∑(-nx)"; n=1 p=limna,= limn=+oo, : R=O n→ 级数只在x=0处收敛, n (3)∑,; n=1 p=lim n+1 0,∴R=+0o n-→>0c n→>∞n+1 收敛区间(∞,+0)
故收敛区间是(−1,1]. n n n a → = lim n n→ = lim = +, R = +, 级数只在x = 0处收敛, n n n a a 1 lim + → = 1 1 lim + = n→ n = 0, R = 0, 收敛区间(−,+). (2) ( ) ; 1 = − n n nx; ! (3) 1 n= n n x
2 (4)∑(-1)乙(x n=1 lim n+1 2√n P= =lim 2 R n n 2 即x-1k收敛,x∈(.1收敛, 2 当x=0时,级数为∑ 发散 n n= 当x=时,级数为∑(),收敛 n=」 故收敛区间为(0,1
n n n a a 1 lim + → = 1 2 lim + = → n n n = 2 , 2 1 R = , 2 1 2 1 即 x − 收敛 x(0,1)收敛, ) . 2 1 ( 2 (4) ( 1) 1 n n n n x n − − = 当x = 0时, , 1 1 n= n 级数为 当x = 1时, , ( 1) 1 = − n n n 级数为 发散 收敛 故收敛区间为(0,1]
2n-1 例3求幂级数∑,的收敛区间 5 解∵级数为+2+3+…缺少偶次幂的项 2 222 应用达朗贝尔判别法 n+1 n2+1 m 2 2 in 2 n->.x n→00 2 当x2<1,即x<√2时,级数收敛
例 3 求幂级数 = − 1 2 1 n 2 n n x 的收敛区间. 解 + + 3 + 5 2 3 2 2 2 x x x 级数为 缺少偶次幂的项 应用达朗贝尔判别法 ( ) ( ) lim 1 u x u x n n n + → n n n n n x x 2 2 lim 2 1 1 2 1 − + + → = , 2 1 2 = x 1, 级数收敛, 2 1 2 当 x 即 x 2时