(2)假设当x=x时发散, 而有一点x1适合x1>x0使级数收敛, 由(1)结论则级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾 几何说明 收敛区域 发散区域_R0R发散区域
(2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 x1 x0 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域
推论 如果幂级数∑nx”不是仅在x=0一点收敛,也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质 当x<R时,幂级数绝对收敛; 当x>R时,幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论
定义:正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 (一R,R),[-R,R),(一R,R],[一R,R 规定(1)幂级数只在x=0处收敛, R=0,收敛区间x=0 (2)幂级数对一切都收敛, R=+∞,收敛区间(∞,+0) 问题如何求幂级数的收敛半径?
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. R = 0, [−R,R), (−R,R], [−R,R]. 规定 R = +, 收敛区间x = 0; 收敛区间(−,+). 问题 如何求幂级数的收敛半径? (−R,R), (1) 幂级数只在x = 0处收敛, (2) 幂级数对一切x 都收敛
定理2如果幂级数∑anx的所有系数an≠0 0 设im+=p(或iman=p) (1)则当p≠0时,R=;(2)当p=0时,R=+; (3)当p=+0时,R=0 证明对级数∑anx应用达朗贝尔判别法 lim/1+/+/ n+1 m n x=px n-oo a.x
定理 2 如果幂级数 n=0 n an x 的所有系数an 0, 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ; 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 n=0 n an x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = = x
(1)如果im=p(≠0)存在, oo 由比值审敛法,当|xk时,级数∑anx收敛, 从而级数∑anx"绝对收敛 n=0 当x>时,级数∑|anx“|发散, H-=0 并且从某个n开始|an+1 xt>lanx"b,|anx”>0 oo 从而级数∑anx"发散.收敛半径R=; n=0
(1) lim ( 0) , 如果 +1 = 存在 → n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 发散 n= n an x 并且从某个 n开始 | | | |, 1 1 n n n an x a x + + | |→ 0 n an x . 0 n= n 从而级数 an x 发散 ; 1 收敛半径 R =