一元函数微分学 习题课 一.函数、极限 (一)基本要求 1.理解函数的概念； 2.了解函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性； 3.熟悉基本初等函数的性质及其图形： 4.理解初等函数的概念； 5.善于将复合函数分解成简单函数的复合； 6.领会函数极限的实质，加深对极限思想的理解； 3
3 一元函数微分学 习 题 课 一．函数、极限 （一）基本要求 1.理解函数的概念； 2.了解函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性； 3.熟悉基本初等函数的性质及其图形； 4.理解初等函数的概念； 5.善于将复合函数分解成简单函数的复合； 6.领会函数极限的实质，加深对极限思想的理解；
7.掌握极限的四则运算法则； 8.了解极限存在准则； 9.理解无穷小与无穷大的概念，知道两者之间的关系， 掌握无穷小，无穷大的性质及无穷小阶的比较； 10.熟练地运用两个重要的极限求函数极限； 11.理解函数连续性的概念，了解函数间断点的概念， 并会判别间断点的类型； 12.了解初等函数的连续性，能利用函数的连续性求函 数的极限； 13.知道闭区间上连续函数的性质。 4
4 7.掌握极限的四则运算法则； 8.了解极限存在准则； 9.理解无穷小与无穷大的概念，知道两者之间的关系， 掌握无穷小，无穷大的性质及无穷小阶的比较； 10.熟练地运用两个重要的极限求函数极限； 11.理解函数连续性的概念，了解函数间断点的概念， 并会判别间断点的类型； 12.了解初等函数的连续性，能利用函数的连续性求函 数的极限； 13.知道闭区间上连续函数的性质
(二)典型例题 例1·判定下列每对函数是否相同？ (1)y=lnx2与y=2lnx; (2)y=VR与yx: 解(1)y=lnx2的定义域为 (-0,0)U(0,+∞)，而y=2lnx的定义域为(0，+o),因此， 这两个函数是不相同的两个函数； (2)y=V2与y=x的定义域都是(-0，+0)， 且V2x,因此y=V2与yx是同一函数。 5
5 （二）典型例题 例１．判定下列每对函数是否相同？ （１） 2 y x = ln 与y x = 2ln ； （２） 2 y x = 与y x =| |； 解 （１） 2 y x = ln 的定义域为 ( ,0) (0, ) − + ，而y x = 2ln 的定义域为(0, ) + ，因此， 这两个函数是不相同的两个函数； （２） 2 y x = 与 y x =| |的定义域都是( , ) − + ， 且 2 x x =| |，因此 2 y x = 与y x =| |是同一函数
例2.已知2f+3r =5x,求f(x)。 解 令x=则2r+3f0=5号 即3（创+29-5号 (1) 又2f(x)+3f(白)=5x (2) (1)×3-(2)×2得 5)-5目2即/=2x 6
6 例２．已知 1 2 ( ) 3 5 f x f x x + = ，求 f x( )。 解 令 1 x t = ，则 ( ) 1 1 2 ( ) 3 5 f f t t t + = ， 即 ( ) 1 1 3 2 ( ) 5 f x f x x + = (1) 又 ( ) 1 2 3 ( ) 5 f x f x x + = (2) (1)3-(2)2 得 3 5 ( ) 5 2 f x x x = − ，即 3 f x x ( ) 2 x = −
例3.将=八sn千2)分解成简函数。 令u=sin,v=1+x 解 则=/m十2)可分解为=，4=sin X 1+x2 解 1+2+…+n n-→∞ n(n+1) 2 n+1 1 =lim- =lim n-→0 n-→o 2n 2 7
7 例３．将 2 (sin ) 1 x y f x = + 分解成简单函数。 解 令 2 sin , 1 x u v v x = = + 则 2 (sin ) 1 x y f x = + 可分解为y f u = ( )， 2 sin , 1 x u v v x = = + 例４．求 2 2 2 1 2 limn n → n n n + + + 解 2 2 2 1 2 limn n → n n n + + + 2 1 2 limn n → n + + + = 2 ( 1) 1 1 2 lim lim n n 2 2 n n n → → n n + + = = =