给定的正数，不论x取(-￥，)业什么值，都有 N当a>N时恒有 sinnx ,防以品列 在到，上-致收纹于/倒-0 函数列{f}在D上不一致收敛于f的正面陈述是： 存在某正散e,对径何正数N,都有某一点xiD和 某一正整数n,>N(注意：x,与n,的取值与N有关)， 使得
前页 后页 返回 给定的 取 上什么值, 都有 , , 所以函数列 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是: 存在某正数 对任何正数 N, 都有某一点 ( 注意: 的取值与 N 有关 ), 使得
f(xo)-F(x)eo 由例1中知道，”}在(0,1)上不可能一致收敛于0. 下面来证明运个结论. 事实上若取，}对任何正整数V2,取正整 数=及孕10w数有 =1 前
前页 后页 返回 由例1 中知道, 下面来证明这个结论. 事实上, 若取 就有
函数列{f}一致收敛于f的几何意义：如图所示， "e>0,$N>0,对于序 号大于N的所有曲线 y=f(x)+e y=f(x) r=f(x) y=f (x)(n>N), y=f(x)-e 都落在曲线y=f(x)+e 与y=f(x)-e所夹的带 图13-1 状区域之内
前页 后页 返回 号大于 与 状区域之内. 图 13-1
函数列{x”}在区间(0,1)上 y 不一致收敛，从几何意义上 看，就是存在某个预先给定 的e(<1),无论N多么大， 总存在某条曲线 y=x"(n>N), e 不能全部落在由y=e与 图13-2 y=-e夹成的带状区域内（图13-2).若函数列{x"} 只限子在区向[0，b](仍<1)上，则名易看到，只要
前页 后页 返回 从几何意义上 看, 就是存在某个预先给定 的 (<1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线 只限于在区间 上, 则容易看到, 只要 不能全部落在由 夹成的带状区域内(图13-2). 若函数列
n>lne其中0<e<1),电线y=x就全邮落在 In b y=和y=-e所夹成的带状区域内，所以x"}在 [0,b]业是一致收敛的. 定理13.1（函数列一致收做的柯西准财）函数列{fn} 在散集D上一致收做的充要条件是：对径俗正散， 急存在正款N,使当n,m>N,对一切xID,都有 If(x)-f(x)e. (4) 在必要性设fn(x)微f(x)(n®￥)，xiD,即对 前页
前页 后页 返回 曲线 就全部落在 所夹成的带状区域内，所以 上是一致收敛的. 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 在数集 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 对一切 , 都有 证 必要性