当x=0和x=1时，则对任何正整数n,都有 1fn(0)-f(0)上0<e |f(1)-f(1)=0<e. 这就证明了{fn}在(1,1】上收敛，且极限就是(3) 式所表示的函数. 又当|x>1时，有|x"®+￥(n®￥)，当x=-1时， 对应的数列为-1,1，-1,1L,显然是发数的.所以 函数列{x"}在区向(-1,1川外都是发散的.故所对纶 的函数到的收做域是(1,1]. 前
前页 后页 返回 式所表示的函数. 又 显然是发散的. 所以 函数列 在区间 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 这就证明了 在( , 1] 上收敛, 且极限就是(3)
例2定义在（￥，+￥）上的函数列f,(x)= sin nx n n=1,2,L 由于对任何实数七，都有 sin nx 故对任给的e>0,只要n>N=二，就有 s.ce. 前页
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所以函数列sin nx/n}的收敛域为(-￥，+￥)，极限 函数为f(x)=0. 注对于函数列，仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系.例如，能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列 每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论， 必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行. 前
前页 后页 返回 所以函数列 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行
定义1设函数列{f}与函数f定义在同一数集D 业，若对任给的正数，总存在某一正整数N,使岁 n>N时，对一切xiD,都有 If (x)-f(x)e 则称函数列{f}在D上一致收敛于f,记作 fn(x)f(x)(n®￥)，xiD. 由定义看到，一致收做就是对D上任何一点，函数列 超于极限函款的速度是“一致”的.这种一致性体现
前页 后页 返回 定义1 数集 上， 使当 时， 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
为：与e相对应的N仅与e有关，而与x在D上的 取值无关，因而把这个对所有x都适用的N写作 N(e). 显然，若函散列{∫m}存D上一致收敛，则必存D上 每一点都收做.反之，在D业年一点都收做的函散列， 它在D上不一定一致收敛 例2中的函散列 是一致收敛的，因为对任意
前页 后页 返回 显然, 若函数列 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 是一致收敛的, 因为对任意