π和e 设单位圆内接正n边形的半周长为L,则Ln 180° nsin 数列{Ln} n 应该收敛于该圆的半周长,即圆周率π。现在来严格证明{L}的极限 存在
π 和e 设单位圆内接正n 边形的半周长为 Ln，则 L n n n = sin o 180 。数列{ } Ln 应该收敛于该圆的半周长，即圆周率π 。现在来严格证明{ } Ln 的极限 存在
和 设单位圆内接正n边形的半周长为L,则Ln=nsin 180 数列{Ln} n 应该收敛于该圆的半周长,即圆周率π。现在来严格证明{Ln}的极限 存在。 例24.5数列{nm18收敛。 证令t= 180 则当n≥3时,m≤45°。 n(n+1) tan nt tan(n-1)t+tant ≥tan(n-1)t+tant2…2 n tan t I-tan(n-I)t tant 于是 sin(n+I)t= sinn cost +cosnt sint tan t n+1 sin nt cost 1+ < sinn tan nt n
例2.4.5 数列 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ n n o 180 sin 收敛。 证 令t n n = + 180 1 o ( ) ，则当n ≥ 3时，nt ≤ 45o。 tan nt = ≥ −− − + ttn ttn tan)1tan(1 tan)1tan( − tan)1tan( ttn ≥+ " ≥ n tan t ， 于是 sin( ) sin cos cos sin n t nt t nt t +1 = + ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = + ntt tnt tantan 1cossin ≤ n +n nt 1sin ， π 和e 设单位圆内接正n 边形的半周长为 Ln，则 L n n n = sin o 180 。数列{ } Ln 应该收敛于该圆的半周长，即圆周率π 。现在来严格证明{ } Ln 的极限 存在
所以,当n≥3时, 180 180° = nsin ≤(m+1)sin h+12 n+ o 另一方面,单位圆内接正n边形的面积 180°180 nsin 饣4 因此当n≥3时, 180° =nsin 8。 180°c0s60 cOS
所以，当n ≥ 3时， L n n n = sin o 180 ≤ + + = + ( ) sin o n n Ln 1 180 1 1。 另一方面，单位圆内接正n 边形的面积 S n n n n = < sin cos o o 180 180 4， 因此当n ≥ 3时， L n n n = sin o 180 < 4 180 cos o n ≤ = 4 60 8 cos o
所以,当n≥3时, 180 180° = nsin ≤(n+1)sin n+1 n+I o 另一方面,单位圆内接正n边形的面积 180°180° S=nsin cOs-< 4, 因此当n≥3时 180° =nsin 180°c0s6008。 cOS 综上所述,数列{Ln}单调增加且有上界,因而收敛。将这个极 限用希腊字母π来记,就有 180 im nsin n→
所以，当n ≥ 3时， L n n n = sin o 180 ≤ + + = + ( ) sin o n n Ln 1 180 1 1。 另一方面，单位圆内接正n 边形的面积 S n n n n = < sin cos o o 180 180 4， 因此当n ≥ 3时， L n n n = sin o 180 < 4 180 cos o n ≤ = 4 60 8 cos o 。 综上所述，数列{ Ln }单调增加且有上界，因而收敛。将这个极 限用希腊字母π来记，就有 lim n→∞ π 180 sin o = n n
注有了π的定义,就可以定义角度的弧度制。 由于单位圆的半周长为兀,就把半个圆周所对的圆心角(即180) 的弧度定义为π,其余角度的弧度则按比例得到。于是对单位圆来说, 个圆心角的弧度恰好等于它所对的圆弧的长度。 设单位圆的内接正n边形的面积为S,则S的极限就是单位圆的 面积。由于 180°180° lims= lim nsin COS n→)0 可知单位圆的一个扇形的面积等于其顶角弧度的一半。 在弧度制下,上例中的极限式又可以写成 Sln(兀/n) Im n→>T/n
注 有了π 的定义，就可以定义角度的弧度制。 由于单位圆的半周长为π ，就把半个圆周所对的圆心角（即 o 180 ） 的弧度定义为π ，其余角度的弧度则按比例得到。于是对单位圆来说， 一个圆心角的弧度恰好等于它所对的圆弧的长度。 设单位圆的内接正n 边形的面积为Sn，则Sn的极限就是单位圆的 面积。由于 π 180 cos 180 sinlimlim o o = = ∞→ ∞→ nn nS n n n ， 可知单位圆的一个扇形的面积等于其顶角弧度的一半。 在弧度制下，上例中的极限式又可以写成 lim n→∞ sin( ) π π n n = 1