>g(E),取N=[g(E)]然后用综合法、即用定义叙述和下结论 3数列极限的主要性质 在本节先介绍了唯一性、有界性、子(数〕列极限定理 习题1-3解答 1.观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势,写出它们的极 限 (1)xn2 (2)xn=(-1)"; (3)xn=2+2;(4)xn= 1 (5)xn=n(-1) 答写出各数列前几项如下: 111111 4816”3264'128 1_11_11 (2)-1,, (3)3,2,2,2,2,2 9 2 (4)0,1,2,3,4,5,6,7,8 4’56”7’8’9·10 (5)-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,-9,10,… 观察以上各数列项的变化趋势,易发现(1)~(4)的极限依次是0; 0;2;1;而(5)没有极限. n式 2.设数列{xn}的一般项x csy同lmx,=?求出N,使当 7 n>N时,xn与其极限之差的绝对值小于正数e当E=0.01时, 求出数N. 解1m(oy7-0事实上,欲使 nTt = cos 21
只预<即n>即可取N-[小则对手v>03N [l/e]>0,当n>N时,总有n>1/e,将以上分析找N的过程逆 推,便有|xn-0<e,于是 ImIn=lim cOs r 注:为了叙述简化起见,以下将上述E一N论证法中的分析与 综合的过程夹在一起叙述了;但读者应清晰地认识,前面部分是分 析,后面是综合,不要误会了 当E=0.001时,可以取N= 0.00 =10004当然取N为大 于1000的数也可以 3.根据数列极限的定义证明: (1)li 1 (2)lin 3n+1 3 2n+12 (3)/mymn2+a=1;(4)im0.99….91 证明【用定义证极限,就是用E-N论证法,初学者要先分 析找N,再综合写出,注意别把充要性搞反了,并注意欲使……, 只须……等写法】 (1)e>欲使1-0<,只须<,即n>即 可为此可取N-[于是对于v>0N=V当 n>N=[1/√e]时,便总有n>1/√E,从而 2)yE>0,因为 1冷 2n+1-22(2n+1)n 【这里为了简化式子便于找N缩小了分母,进行了不等式放大, ·22·
适当时候令其“<E”,从而导出n>1/,便容易找到所须的N了】 于是对于Ⅴe>0,3N=[1/],当n>N时,都有n>1/e,从而 2+i2/<1 3n+1 计2 lim 3n+ (3) √x+_1=ym+2=n n(√n2+a2+n)n。 ↓ε>0,欲使 1}<e,只要<、即n>即可,取 N=[a2/e],则当n>N时,便总有n>a2/e,从而 m √n2+a=1. (4)10.9919-1-1<1 Ⅴc>0,要使|0.999-1<e,只要L<e,即>1,于是 取N=[1/],当n>N时,便总有<e,从而 10.99…9-1|<ε,∴lim0.99.9=1 个 【说明】从以上几题,可总结出运用e-N论证法的大致步骤 1°Vc>0(或在叙述过程的适当时候ve); 2令|x,-a|<E(即开始分析倒推); 3推出n>g(e)(导出此式是找N的关键); 4°取N=[g(e)],再用e-N语言顺述并下结论. 至于何时yc>0,何时令变形后的式子<E,如何变形放大,再 推出n>g(e),取的N=?这些可以因人而异,不求一律;但有一点 是共同的;必须符合e-N定义,不要把条件与结论,或说不要把必 要性与充分性搞颠倒了,即不要把必要性(分析)代替了充分性(综 合)的证明.叙述要合乎逻辑!对于不是一眼就可看出N是什么的 ·23·
问题,需要先分析倒推,找到N后再顺述并下结论,这是一种新的 分析夹杂着综合的思维和书写过程,读者要习惯并尽快地掌握它 4.若lmn=a,证明lim|un|={a|,并举例说明反过来未必成 证明【本题的论证比较简单,我们不必先分析,直接用综合 法证之.】Ve>0,因为 limu, =a, 所以N>0,当n>N时,总有 ian-a|<ε 从而 an,|-a|≤{an-a<e, 于是e>0,3N>0,当n>N时,亦总有 luI-la!<e,,. lim |un|= 反例:lim(-1)”,虽有|n|=|(-1)"|=1且im}un|=1,但 lim(-1)”不存在 5.设数列{xn}有界,又 limy=0,证明: limey=0 证明因为{x。}有界,故存在M>0,使得对于一切n∈N,均 有|x|≤M. e>0,;limy,=0,所以彐N>0,当n>N时,总有 D,0=ym <e/M, 从而 0 limx, yu=0. 6.对于数列{xn}若x-1→a(k→∞),xb→a(k→∞),证明: a(n→∞) 证明￥ε>0,因为k→∞时,x-1→a,所以彐N1>0,当k >N1时,总有|x 又k→∞时,x2→-a,所以彐N2>0,当k>N2时,总有 24
现在取N3=max{N1,N2},则当k>N3时,同时成立 <e与|x E 最后取N=2N3+1,则当n>N时,无论n=2k-1,还是n 2k,均有k>N3,由上式,从而总有 lxn-a|<ε,∴ limx=a. 第四节函数的极限 知识要点与考点 1.函数极限的概念【考点】 1)limf(x)=A的e—δ定义简述为:e>0,3δ>0,对于0 <|x-xo<δ,都有|f(x)-A|<E 2)limf(x)=AVE>0,彐X>0,对于|x|>X,都有 f(x)-A|<e. 3)单侧极限(左、右极限) limf(x)=A∫(x千0)<→E>0,38>0,对于x0-8< x<r(或x<x<x+8),都有|f(x)-Al<ε limf(x)=A△f(士∞)+→E>0,3X>0,对于x>X(或 上·士∞ x<-X),都有∫(x)-A|<e 2.E-d(或cX)论证法 即利用函数极限定义的证法:与e—N方法类似,对于!c 0,去找8(或X)>0,使得当0<|x-x<δ时(或|x|>X时),都 有!f(x)-A!<E.具体运用时,也常先用分析法倒推去找出所需 的δ即先令f(x)-A|<E或变形∫(x)-A|若干步以后,再令 其<E,解出|x-x。|<q(ε),取a=g(e);然后用综合法,即用定义 叙述和下结论 25