解当x<0时,g(x)|<1; 当x=0时,|g(x)|=1 当x>0时,|g(x)|>1 门1,当x<0时; fg(x)]=10,当x=0时; 1,当x>0时 当!x|<1时 g[f(x)]={1,当|x|=1时, e-1,当|x|>1时. 上述两个函数的图形如图1-5所示 y=gf(x)] 10 J[8(x)] (t) (2) 图1-5 12.证明本节公式(2)、(3)、(4) 证明【只须根据双曲函数的定义进行恒等变形.】 公式(2)、(3)、(4)分别为 sh (r-y)=sh ach y-ch xsh y; ch (rty)=ch rch y+sh xsh y; (3) ch (r-y)=ch rch y-sh xsh y; (4) 证(2) sh xch y-ch xsh y e e+e 2 2 16
ee>fee (eey-e2e-y-+ee” r+y sh (x-y 证(3) ch xch y+shsh y e-e eeytee-y+e-eyte"y+(e'ey-ee y-e*e '+e e) 里十y e ch (x+y) 证(4)类似证(3),有 ch ach y-sh rsh ys 2ee y+2e-ey + +e =ch 13.证明: (sh rtsh y=2sh itch xry; (2)ch xch y= 2sh <th y 2 h 证明(1)由本节公式(1)、(2),展开可得 shr+sh y 2+x-2+sh/x 2 2 +ch 2 +sh2x+chx。y-chx2hx2 2 =2sh tyche (2)由本节公式(3)、(4),展开可得 x十y_x二y 2 17
h i t chi 2 sh ityshI-y 2 ch rt ychr-y-shx+shi=y 2 2sh.t ysh=y 14已知一物体与地面的摩擦系数是p重量是P.设有一与 水平方向成a角的拉力F,使物体从静止开始移动(图1-6).求物 体开始移动时拉力F与角a之间的函数关系式 解【列函数关系式是今后解应 用题的关键,也是难点.要善于找出 等量关系才便于列函数式】如图8 1-6物体所受的水平方向的分力为 Fcos a-R 其中R=(P- Fsin a) 图1-6 当物体开始移动时,水平方向的 力为零,即 Fcos a-u(P-Fsin a)=0 于是所求函数关系式为 P cos atusin a 15.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角40°(图1-7).当过水 断面ABCD的面积为定值S时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与 水深h之间的函数关系式,并说明定义域 解依题意,AB=CD,如图1-7,S0=)h(BC+AD),而h= CDsin o,BC=b,AD=b+2 COcos9,所以 S。=2b+b+2.h =h( bthcot p 1) L= BC+2CD 18·
=b+2·、h (2) sin p 由(1)、(2)消去b,得 y=40 S。=hL t hot in 从而 2h- hot p 图1-7 L= h sin 即 S。,2-cos40 h h sIn 为所求函数关系式,由问题的实际意义,其定义域应由h>0和b >0确定,其中由(1)式知, b=五-hcot4>0, h2<Stan 40, 0<h<vStan 4( 故定义域为0, Satan40 16.一球的半径为r,作外切于球的圆锥(图1-8),试将其体积 表示为高的函数,并说明定义域 解记该圆锥的高为h,体积为V, 如图1-8,则 h 易知r△OAS~rt△SCB,所以 h x2+h2 +h2=x(h-r) 2+r2h2=x2(h-r) 图1 x2=(h-r)2-r2h-2 故 V=I-r2h2 3h-2 其定义域由h>0与V>0确定,于是h-2->0,h>2r,故定 19·
义域为(2r,+∞) 17.火车站收取行李费的规 定如下;当行李不超过50kg时 按基本运费计算,如从上海到某12 地每kg收015元当超过50kg2 时,超重部分按每千克0,25元 10203040506070x 收费.试求上海到该地的行李费 y(元)与重量x(kg)之间的函数 关系式并画出这函数的图形 解依题意,该函数关系式是 0.15x, 当0<x≤50, y=(0.15×50+0.25(x-50),当x>50 0.15x, 当0<x≤50 7.5+0.25(x:50),当x>50 其图形如图1-9所示 第三节数列的极限 知识要点与考点 1数列极限的概念【考点】 E-N定义可简述如下: limx=a←→E>0,30N>0,当n> pco N时,总有|x-a|<E 2.e-N论证法 即利用数列极限定义的证法,对于ve>0,去找N>0,使得当 n>N时,总有|xn-a<E成立.具体运用时,常先用分析法倒推, 即先令|xn-a|<e,或变形|xn-a1若干步以后,再令其<ε,解出n ①符号“彐”表示并读作“存在”, 20·