波传播模型
这里我们将介绍一类典型的曲型方程--波 动方程,它可用来描述弹性体的振动、声波、电 磁波等波动的传播。在这里我们主要研宪一维波 动方程-猴振动方程的柯画同题。 考察自由振动方程 0 at 方程(1)的特征线是两族直线 x-t=C12X++((2)
这里我们将介绍一类典型的双曲型方程----波 动方程，它可用来描述弹性体的振动、声波、电 磁波等波动的传播。在这里我们主要研究一维波 动方程----弦振动方程的柯西问题。 考察自由弦振动方程 0 2 2 2 2 2 = − x u a t u （1） 1 2, x − at = c , x + at = c （2） 方程（1）的特征线是两族直线：
其中c1,2为任意常数,取这两族特征线为新 的坐标曲线,即作自变数变换: x-at 77 xt at (3) 方程(1)立即变为只含二阶混合俑导数的下述 标准形式 0 (4) 将方程(4)先对n积分一次,再对积分一次, 容易看出其解的一般形式为 1=F(5)+G(7) (5)
其中c1，c2为任意常数，取这两族特征线为新 的坐标曲线，即作自变数变换： = x − at, = x + at, （3） 方程（1）立即变为只含二阶混合偏导数的下述 标准形式： = 0. u （4） 容易看出其解的一般形式为 将方程（4）先对积分一次，再对积分一次， u = F() +G() （5）
阅到原来的变数κ及t,立即得到方程(1)的解的一 般形式即其通解为 (x1)=E(x-)+C(x+) (6) 其中F及G为任意的单变数的二阶连续可微函数。 由(6)式可见,自由猴振动方程(1)的解可以 表示为形如F(x-an)与G(x+an)的两个函数之和。 方程(1)的形如l=F(x-m)或l=G(x+at)的解称为行波 其中u=F(xm)表示一个在初始时刻0时为l=F(x)的波 形,以速度①>0向右(即x轴正向)传播,而波形保持 不变,它称为右传播浪;而=G(x+m)则表示以速度a 向左传播的波,称为左传播浪
回到原来的变数x及t，立即得到方程（1）的解的一 般形式即其通解为 u(x,t) = F(x − at) +G(x + at). （6） 由（6）式可见，自由弦振动方程（1）的解可以 表示为形如F(x-at)与G(x+at)的两个函数之和。 其中u=F(x-at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的波 形，以速度a>0向右（即x轴正向）传播，而波形保持 不变，它称为右传播波；而u= G(x+at)则表示以速度a 向左传播的波，称为左传播波。 其中F及G为任意的单变数的二阶连续可微函数。 方程（1）的形如u=F(x-at)或u= G(x+at)的解称为行波
振动方程的通解表达式(6)式说明 弦上的任意扰动总是以行浪的形式向左右两个方 向传播出去。 下面我们可以看到,通过把方程(1)的解表示 为向两个方向传播的行波之和,即表示为右传播波和 左传播波的迭加,可用来求一些定解问敷的解。这个 方法称为行浪法。 现在我们用行波法来求解猞振动方程的柯西问题。 0(t>0,-∞<x<∞)(7) at at 0:a=(x)2 0y(x)(-∞<x<) (8)
弦振动方程的通解表达式（6）式说明: 弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右两个方 向传播出去。 下面我们可以看到，通过把方程（1）的解表示 为向两个方向传播的行波之和，即表示为右传播波和 左传播波的迭加，可用来求一些定解问题的解。这个 方法称为行波法。 = − = = = − − 0 : ( ), ( )( ) 0 ( 0, ) 2 2 2 2 2 x x t u t u x t x t u a t u （7） （8） 现在我们用行波法来求解弦振动方程的柯西问题