3函数极限的主要性质 也有唯一性、局部有界性(见习题1—-4.7.),还有局部保号 性、广义保号性(见教材本节定理)这些性质对于数列(它也是函 数)极限也成立此外,函数极限还有单侧极限定理等(见习题1 4.8.9.) 4水平渐近线 若limf(x)=c,则x=c是f(x)的水平渐近线 x白 习题1-4解答 1.根据函数极限的定义证明 (1)limn(3x-1)=8;(2)lim(5x+2)=12; x一2 (3)lim 4 2 4;(4)lim +1 2. 证明【用定义证函数极限,即c8论证法,与eN方法类 似,别把已知……,求证……搞反了.】 (1)Ve>0,欲使 x-1)-8|=3|x-3|<e 只须|x-3<E/3,取δ=e/3.于是对于c>0,38>0,当0<!x 3|<8时,就都有 (3x-1)-8<ε,∴limn(3x-1)=8. (2)ε>0,欲使 (5x+2)-12|=5|x-2|<e 只须|x-21<e/5,取δ=E/5.于是对于Ⅴe>0,38>0,当0<|x 2|<8时,都有 (5x+2)-12|<E,∵lin(5x+2)≈12 (3)ε>0,要使得 x+2-(-4)=|x+2|<e 26
成立,只须取δ=c;当0<|x-(-2)<|x+2|<δ时,便都有 1x+2-(-4)<e,∴lim2-4 2x+2 (4)e>0,要使 2x+1 2|=12x+1|=2x+y< 成立,只须|x+1/2|<∈/2,取δ=6/2;当0<|x-(-1/2)|<δ 时,便都有 2x+1-2<e, li 2x+1 2 2根据函数极限的定义证明: (1)lim (2)lim Stn . T 证明(1)Ve>0,欲使 1+x2-1|=1<1<6 2!x3 只须|x|>1/yE,可取x=1/∨∈,于是e>0,3X>0,当!x >X时,就都有 li 2r (2)E>0,要使得 sIn c 成立,只须x>1/2,取X=1/e2.于是ye>0,3X=1/e2,当x>X 时,便都有 sin d 0<e,∴lim SIn J 3当x→2时,y=x2--4.问8等于多少,则当|x-2|<δ时 y-4|<0.001? 解先不妨设1<x<3,要使得
ly-4}<0.001,即|x2-4|<0.001, 只须 x-2|·(x+2)<5x-2|<0.001 (3<x+2<5), 即只须 x-2|< =0.0002 故可取δ=0.0002则当|x-2|<δ时,总有|y-4|<0.001 4当x→∞时,y=x+3+.间x等于多少,使当|x|>x 时,y-1|<0.01 解要使得 ly-11 x2+3-1/=4 3 <0.01, 只须 x2+3>400,即x2>397, 亦即|x|>√397.取X=√397(取X=20亦可)则当|x|>X 时,总有|y-1<0.01. 5证明函数f(x)=|x|当x0时极限为零 证明Vc>0,欲使 x|-0|=|x<ε 成立,只须取δ=e,则当0<|x-0<δ时,便都有 x|-01<ε,∴limx|=0. 6.求f(x)=x,g(2)1x 当x→0时的左、右极限,并说明 它们在x→0时的极限是否存在 解f(0—0)=lim 0-0 ∫(0+0)=limx=lim1=1=f(0-0) limf( r)=1 9(0-0)=im im x→0-0x 0+0)=limx=1≠g(0-0); x0+0x 28·
所以limg(x)不存在, 7.证明:如果函数f(x)当x→x0时的极限存在,则函数f(x) 在x。的某个去心邻域内有界. 证明设imf(x)=A,于是c>0,38>0,当0<|x-x0|< δ时,都有 f(r)-A<E, p A-E<f(r)<A+E, 这说明f(x)在xo的去心邻域U°(x,a)内既有上界又有下界,从 而有界 8.证明:若x→+∞及x→-∞时,函数f(x)的极限存在且都 等于A,则limf(x)=A 上, 证明【只须将已知两条件中的两个“第三句话”x>X与 X合并,即可得证.】 ∵limf(x)=A,于是对于c>0,X1>0,当x>X1时, 都有|f(x)-A|<e; 又limf(x)=A,对于上述e>0,彐X2>0,当x<一X2时,都 有|∫(x)-A|<E 现在取X=max{X1,X2},由上述已证知,对于c>0,X> 0,当x>X(>X1)及x<-X(<-X2)时,即|x|>X时,都有 f(x)-A|<ε, lim f(x)=A 9根据极限定义证明:函数∫(x)当x→x0时极限存在的充分 必要条件是左、右极限各自存在并且相等 证明【与上题类似,只须将各自的“第三句话”拆散或合并写 出,即可得证.】 必要性.设limf(x)=A,于是E>0,3δ>0,当0<|x-xo <δ时,都有|f(x)-A|<e,特别地,当0<x-x<8(这时x>x0) 时,亦都有f(x)-A|<E,所以 fCra+0)= lim f(x)=A ·29·
又特别地,当一δ<x-x。<0时(这时x<x0),亦都有|f(x) A|<E,所以 f(x。-0)=limf(x)=A=f(x0+0), 所以左、右极限都存在并且相等 充分性.设f(x。-0)=A=f(x0+0),于是Ⅴc>0,彐81>0, 及82>0,当—81<x-x0<0及0<x-x0<δ2时,分别都有 取δ=min{a1,b2},则当-δ<x-x<0及0<x-x<δ时,亦都 有上式成立将一δ<x-x<0及0<x-x0<8合并写成0<|x x|<δ,这时,都有|f(x)-4|<e,所以 第五节无穷小与无穷大 知识要点与考点 1.无穷小及基本性质【考点】 在其自变量的某一变化过程中,以零为极限的变量(或函数) 称为无穷小(量).其e8等说法和性质留给读者叙述 lin∫(x)=A<→f(x)=A+a(lima=0) 2.无穷大及基本性质 当x→x0(或x∞等)时,f(x)无限增大,就说f(x)是当x 或x→∞等)时的无穷大量(精确说法从略) 无穷大与无穷小的关系是:在自变量的同一变化过程中,若 f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之若∫(x)≠0为无穷小 则1/f(x)为无穷大, 3.铅直渐近线 若imf(x)=∞,则x=xo是f(x)的图形的铅直渐近线 30