解(1)必须x≥0,即定义域为[0,+∞). (2)x+1≠kx+,定义域为{x1x∈R,≠x+2-1,k∈ Z (3)-1≤x-3≤1,即2≤x≤4,定义域为[2,4] (4)解 x≠0, 得 定义域为(-∞,0)∪(0,3] x≠0 (5)x+1>0,郎x>-1,定义域为(-1,+∞) (6)x≠0,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 2.设f(x)= arcsin s,求下列函数值: f(0),f(1) ∫(1 2 解 f(o)=arcsin 0=0 f(-1) in(-1) F arcsin arcsin f(1)=arcsin 1=*/2 3.设G(x) 2arco,求下列函数值: G(0),G(1),G(√2),G(-√3),G(-2). 解G(0) arccos G(1) G(√2)= 5丌 Icos T G(-2) 21_1 2 4设F(x)=e,证明
(1)F(x)·F(y)=F(x+y) (2) F(r) (y) 证明(1)F(x)·F(y)=e·ey=e+y=F(x+y F(r)er =e y=FO 5.设G(x)=lnx,证明:当x>0,y>0,下列等式成立: (1)G(x)+G(y)=G(xy); (2)G(x)-G(y)=G 证明(1)G(x)+G(y)=lnx+lny=ln(xy)=G(xy) (2)G(x)-G(y)=In I-In y=In yy 6,利用y=sinx的图形,作出下列函数的图形 1 y (2)y=sin (x+r) (3)y=3snx; (4)y=sin 2x; 5)y= 解【须认清各函数与y=sinx图形之间的关系】 sin x t y y-sin x √x t/2 3si Fsin 2x es 12
(1)将y=sinx的图形 沿着y轴向上平移1/2个 yasin(2x+3) 单位,得y=1/2+sinx的 图形(图1-3(1) sin(2x+3) (2)将y=sinx的图形 s y- sin x 沿着x轴向左平移π/3个 单位,得y=sin(x+x/3) 的图形(图1-3(2)) (3)将y=sinx的图形 在y轴方向上下拉长3倍, 得y=3sinx的图形(图1-3 (3)) (4)将y=sinx的图形 图13 沿x轴方向向原点压缩到 1/2倍,得y=sin2x的图形(图13(4) (5)y=sin 2x+ 22 -sin 2 It 3 ,在(4)的基础上,将 y=sin2x的图形沿x轴向左平移x/3,先得出y=sin(2x+2x/3) 的图形;然后再沿y轴向上下拉长3倍,得y=3sin(2x+2r/3)的 图形(图1-3(5) 7.利用图形的“叠加”,作下列函数的图形: (1)y=x+; (2)y=r+sin ri (2)y=sin x+cos r 解(1)先画出y=x与y=1/x的图形,y=x+1/x的图形 由y=x和y=1/x的图形“叠加”而得(图1-4(1)这里“叠加”是 指对于相同的自变量,将函数值相加 (2)先画出y=x与y=sinx的图形,将其“叠加”,得y=x+ sinx的图形(图1-4(2) (3)先画出y=sinx与y=cosx的图形,将其“叠加”,得y= 13
sinx+cosx的图形(图1-4(3)) y-x+sinx 士 (2) 8求下列函数的反函数: )y=2sin 3 (2)y=1+ln(x+2); sin xt cos x )y=2x+1 解(1)由y=2sin3x解 得x=1/3· arcsin(y/2),反 y=sinr 函数为y=3 arcsin2 (2)由y=1+ln(x+2)解 得r=e1-2,反函数为y= 图1-4 (3)由y=2,有y(2+1)=2,2(1-y)=y,2= r=logy,反函数为y=lg2 9.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数 分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: (1)y=x2,l=sinx,x1=m/6,x2=x/3; (2) y=snt,=2x,x1=yx2一5 (3)y=√t,=1+x2,x1=1,x2=2;
(4)y=e",u=x2,x1=0,x2=1 解(1)y=sin2x;y=sin H=I SIn 4 (2)y=sin 2r, y1=sin sin (3)y=√1+x2;y1=√1+1=√2,y2=√1+2=√5 =e°=1 e -e (5)y=(e)2=e2iy1=e2l=e2;y2=e-2=1/e2 10.设∫(x)的定义域是[0,1],问(1)f(x2),(2)f(sinx), (3)f(x+a),(a>0),(4)f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域 各是什么? 答(1)当x∈[-1,1]时,x2∈[0,1],反之亦然,所以f(x2 的定义域是L-1,1] (2)要sinx∈[0,1],只须且必须x∈[2kx,(2k+1)x]〔k∈ Z),反之亦然,所以∫(sinx)的定义域是 x}x∈[2kx,2kπ+π;k∈Z]} (3)要x+a∈[0,1],必须且只须x∈[-a,1-a],所以f(x+ )的定义域是[-a,1-a](a>0) (4)要x-a∈[0,1],必须且只须x∈[a,1+a],再由(3),知 ∫(x+a)+f(x-a)的定义域为 x|-a≤x≤1-a}U{xa≤x≤1+a [a,1-4],当0<a≤1/2时; 当a>1/2时 其中a>0,由1-a≥a解得a≤1/2知f(x+a)+f(x-a)的定义 域为[a,1-a];反之当1-a<a,即a>1/2时,知定义域是空集 1,|x|<1, 11设f(x)=〈0,|x|=1,g(x)=e,求∫[g(x)]和g (x)],并作出这两个函数的图形 15