f2(-x)·f f(x)[-f1(x)]=-/2(x)f1(x) 所以偶函数与奇函数的乘积是奇函数 (3)设定义在(l,)上的任意函数为f(x),因为 x)+/(=x)+f(x)-f( 2 u(r 而 f(-x)+f(x) (x) -x)-f(x)_f(x)-f(-x) 2 (x) 所以(x)与v(x)分别是偶函数与奇函数,从而∫(x)=x(x)+ v(x)是一个偶函数与一个奇函数的和 12.试证下列函数在指定区间内的单调性: 3) 证明【可用定义判断单调性】 (1)任取x1、x2∈(-1,0),且不妨设 x2,则x2-x1>0,而 x2<0,所以 从而x<x故y=x2在(-1,0)内单调递减 (2)任取x1、x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 从而gx:>kgx1,所以lgx在(0,十∞)内单调递增 (3)任取x1、x2∈(-x/2,r/2),则x1<x2,考察 sin r=2e ∈ 从而 十
又由x1、x2∈(一t/2,x/2),且x1<x2,知x2-x1∈(0,丌),所以 ∈0 从而 sin xz-sin x1>0, sin I2>sin TI, 故y=sinx在(-x/2,π/2)内单调递增 13.设f(x)为定义在(-l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,D)内 单调增加,证明f(x)在(-l,0)内也单调增加 证明任取x1、x2∈(-l,0),且x1<x2,则 x2∈(0,),且-x2< 由于f(x)在(-1,D)内悬奇函数,且在(0,D)内单调增加,所以 f(-x2)-f(-x1)=-f(x2)+f(x1)<0, 从而f(x1)<f(x2),所以∫(x)在(-l,0)内也单调增加 14.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周 期 (1)y=cos(x-2); (2)y=cos 4.zi (3)y=1+sinπx; (4)y=rcos x; (5)y=sinx 答易验明(1)、(2)、(3)、(5)均为周期函数,(1)的周期为 2x;(2)的周期为π/2;(3)的周期为2;(5)的周期为r(4)不是周 期函数. 5求下列函数的反函数: (1)y=x+1; (2) .x+6 (3)y-cr+a(ad-b≠0).又问当a、b、c、d满足什么条件时, 这反函数与直接函数相同? 解【可由y=f(x)解出x=q(y),即可写出反函数y (1)由y=Vx+1,解得x=y2-1,反函数为 J-t
(2)由1-,解得1-x=y+xy,即 x(y+1)=1-y, 反函数为 (3)由 x+b cr+d 有ax+b=cyx+y, racy)=dy-b dy-6 故所求反函数为 dr-6 a-caT 欲使此反函数与其直接函数相同,必须 ax+6 b-dx 即 (ar+h)(cr-a)=(cx+d)(6-dx) 展开、移项、合并同类项,得 c(a+d)x2+(d2-a)x-blatd)=o 比较恒等式两边的系数,得 c(a+d)=0 b(a+d)=0 (d-a)(d+a)=0, 所以当a、b、c、d满足条件:a+d=0或a+d≠0但b=c=0且a d时,此题的反函数与直接函数相同 注:题中限制wd-bc≠0,是为了构成“分式线性函数”的需 要否则=立,令比值为k,则有a=b,=d,代人,得 bkx+bb(kx+1) b dkr+dd(kr+1)d 这是常(量)函数,不含x,就无法解出其反函数了 16.对于函数f(x)=x2,如何选择邻域U(0,δ)的半径δ,就能
使与任一x∈U(0,8)所对应的函数值f(x)都在邻域U(0,2)内? 【分析】欲解本题,可逆向思考.欲使f(x)=x2∈(0,2),即0< x2<2,只须x<√2,即-√2<x<√2(x≠0);又x∈U(0, δ),即有0<x<δ,故只须取δ=√2或0<δ<√2,就能使与任 x∈U(0,8)所对应的f(x)=x2∈U(0,2).(解略) 17.设函数∫(x)在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上 有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界 证明【对于这类充要性问题,首先要分清充分性与必要性的 条件与欲证结论各是什么.】 必要性.设f(x)在X上有界,即有 lf(x)≤M(M>0,r∈X) M≤f(x)≤M(x∈X), 此式说明f(x)在X上有下界—M和上界M. 充分性.设f(x)在X上有下界m与上界M,即 m≤f(x)≤M,x∈X 取K=max{|m|,Ml},则有 K≤m≤f(x)≤M≤K 从而|f(x)|≤K,这说明f(x)在X上有界 第二节初等函数 知识要点与考点 1.基本初等函数 1°幂函数y=x2(a∈R); 2°指数函数y=a(a>0,a≠1); 3°对数函数y= logar(a>0,a≠1); 4°三角函数six,cosx,tanx,cotx,secx,cscx; 5°反三角函数 arcsin T, arccos r, arctan x, arccot r
它们的定义域、值域、主要性质、图象、基本公式,在中学里已详细 学习,教材里也有扼要复习,本书从略 2.复合函数初等函数【考点 简言之,复合函数就是函数的函数:y=f(),=g(x),则函 数的叠加y=f[g(x)]便是x的复合函数,其中f又称为外函数,g 称为内函数,称为中间变量.依此类推,还有更多次复合的情形 应注意,并非任何两个函数都能构成复合函数,必须其内函数的值 域包含在外函数的定义域之中 由常(函)数和上述五类基本初等函数经过有限次四则运算、 函数复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数统称为初等函 3双曲函数与反双曲函数 双曲正弦shx 2 双曲余弦chx=2 双曲正切thx=sh8 e ry 反双曲正弦y= arsh x=ln(x+√x2+1 反双曲余弦y= arch x=ln(x+√x2-1), 反双曲正切y= arth=1ln1+ 显然它们也是初等函数,它们的图象性质和计算公式读者可 去复习教材. 习题1—2解答 1.求下列函数的定义域 (1)y=sin√x; (2)y=tan(x+1); (3)y=arcsin (x-3); (4)y=3-I+arctan (5)y=ln(x+1) 10