第三为 第七章 平面及其方程 曲面方程与空间曲线方程的概念 平面的点法式方程 三、 平面的一般方程 四、两平面的夹角
第三节 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七章 一、曲面方程与空间曲线方程的概念
曲面方程与空间曲线方程的概念 引例：求到两定点4(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程 解：设轨迹上的动点为M(x,y,z),则AM=BM,即 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(0y+1)2+(z-4)2 化简得2x-6y+2z-7=0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面！ 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程 C8 下页返回结束
一、曲面方程与空间曲线方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x −1) + ( y − 2) + (z − 3) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 = (x − 2) + ( y +1) + (z − 4) 解:设轨迹上的动点为 M (x, y,z),则 AM = BM , 轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1.如果曲面S与方程Fx,y)=0有下述关系 (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时 求曲面方程 (2) 已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图)
定义1. F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 G(x,y,2) 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C 下页返回结束
空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 L G(x, y,z) = 0 F(x, y,z) = 0 1 S 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M,(x,y,)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,z)eΠ，则有 MM⊥7元 故 MoM.n=0 M0M=(x-xy-%,2-20） A(x-x)+B(y-y0)+C(z-0)=0 称①式为平面的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量 例：P25例1
z y x o M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M M ⊥n 0 0 M0M n = 则有 故 称 n 为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例：P25 例1