第七章 第二为 可分离变量微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 第七章
一、 可分离变量方程 =f) dx M(x)M2(y)dx+N(x)N2(y)dy=0 转化 g(y)dy=f(x)dx HIGH EDUCATION PRESS
转化 g ( y) d y = f ( x) dx 一、可分离变量方程 ( ) ( ) d d 1 2 f x f y x y = ( ) d ( ) 0 M 1 x M 2 ( y) x + N 1 x N2 ( y) d y =
一、可分离变量方程 g(y)dy=f(x)dx ① 两边积分，得 ∫gy)dy=jf(x)dx G(y) F(x) 则有 G(y)=F(x)+C ② 称②为方程①的隐式通解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、可分离变量方程 g ( y) d y = f ( x) dx 两边积分, 得 f (x) dx = ① 则有 ② 称②为方程①的隐式通解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求微分方程 d少=3x2y的通解 解：分离变量得 y 3x2 dx 说明：在求解过程中 y 每一步不一定是同解 两边税粉-j 变形，因此可能增、 减解 得 In y =x3+C 或 即 y=te'+G=±e9e In y=x3+In C 令C=±eCI y=Cex (C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束
例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 = 两边积分 得 1 3 ln y = x + C ln y x ln C 3 = + 即 C1 令 C = e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
xydx (x2+1)dy=0 例2.解初值问题 y(0)=1 解：分离变量得 X 1+r2 两边积分得lny=ln 2 +1n C 即 yx2+1=C(C为任意常数) 由初始条件得C=1 故所求特解为y√x2+1=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 x y x + x + y = 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = − 两边积分得 即 y x +1 = C 2 由初始条件得 C = 1 1 1 2 y x + = ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) = 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束