第三章变换群与几何学 、二维射影变换的特例 1、仿射变换 保持l:x3=0不变的射影变换叫做射影仿射变换,形如 x1=a1x1+a12x2+a1 2=a21x1+c22x2+a23x3 343≠0,p≠0 (3.2) x 作用于射影仿射平面(拓广平面上) 将(3.2)式化为非齐次,去掉无穷远直线,得仿射变换 x+b,y+ ≠0 ly=a2 x+by+c2 lAE 33) 作用于一般仿射平面上 若(3.3)中矩阵A为正交阵,则为正交变换,其齐次坐标表达式 称为射影正交变换 、群与变换群
第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 1、仿射变换 保持l∞：x3=0不变的射影变换叫做射影仿射变换, 形如 0, 0 (3.2) 3 3 3 3 3 3 3 ' 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 ' 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 ' 1 = = + + = + + a A x a x x a x a x a x x a x a x a x 作用于射影仿射平面(拓广平面上). 将(3.2)式化为非齐次, 去掉无穷远直线, 得仿射变换 | | 0 (3.3) ' ' 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 = = + + = + + a b a b A y a x b y c x a x b y c 作用于一般仿射平面上. 若(3.3)中矩阵A为正交阵, 则为正交变换, 其齐次坐标表达式 称为射影正交变换. 二、群与变换群
第三章变换群与几何学 平面上的几个变换群 射K={平面上全体射影变换} 射影变换群K 平K={平面上全体射影仿射变换}—射影仿射变换群K 面 KM={平面上全体射影正交变换}—射影正交变换群KM 仿4={平面上全体仿射变换}——仿射变换群4 射 面M{平面上全体正交变换}—正交变换群M 上述5个变换群之间显然有下列关系 K→KA→KM在射影平面P上 A→M在仿射平面PA上
第三章 变换群与几何学 三、平面上的几个变换群 K={平面上全体射影变换} KA={平面上全体射影仿射变换} KM={平面上全体射影正交变换} A={平面上全体仿射变换} M={平面上全体正交变换} 射 影 平 面 仿 射 平 面 射影变换群K 射影仿射变换群KA 射影正交变换群KM 仿射变换群A 正交变换群M 上述5个变换群之间显然有下列关系： K KA KM A M 在射影平面P上 在仿射平面PA上
第三章变换群与几何学 四、 Klein变换群观点 定义36设S为一个非空集合,G为S上的一个变换群称S为空 间,S的元素称为点,S的子集称为图形,G称为空间S的主变换群 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变 的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,O) S的子集(图形)在G下被分成 若干等价类,属于同一等价类的 图形具有相同的G性质(G给S赋 予空间结构) 几何学(SG) 注:显然,在S上给定不同的变换群G,则得到不同的几何学
第三章 变换群与几何学 四、Klein变换群观点 定义3.6 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群.称S为空 间, S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变 的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G). S G S的子集(图形)在G下被分成 若干等价类, 属于同一等价类的 图形具有相同的G性质(G给S赋 予空间结构) 注：显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学. 几何学(S, G)
第三章变换群与几何学 四、 Klein变换群观点 定义37如果(SG)为一个几何学,H为G的子群则称几何学 (SH为几何学(SG)的一个绝对子几何学,简称子几何学 GH 几何学(SG) S 子几何学(S,H 设∑地0为S的子集,H为G的子群,且对任意的g∈H,都有 g(Σ)Σ,又H为Σ上的一个变换群,且H≌H.则称(CΣ,H)为(SG) 的一个以(S,H为伴随绝对子几何学的相对子几何学,并称B=SΣ 为的绝对形 例如:PA=P\lncP,A=K4cK;V∈K4,x(P\l)=P\lm G 几何学(SG) S H 子几何学(S,H H ∑ 相对子几何学(Σ,H)
第三章 变换群与几何学 四、Klein变换群观点 设Σ≠Ø 为S的子集, H为G的子群, 且对任意的g∈H, 都有 g(Σ)=Σ , 又HΣ为Σ上的一个变换群, 且HΣ≌H. 则称(Σ, HΣ )为(S,G) 的一个以(S,H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S\Σ 为的绝对形. 定义3.7 如果(S,G)为一个几何学, H为G的子群. 则称几何学 (S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学. H G S 几何学(S,G) 子几何学(S,H) H G 几何学(S,G) 子几何学(S,H) HΣ S Σ 相对子几何学(Σ, HΣ ) 例如: PA P l P A KA K KA P l P l \ , ; , ( \ ) \ . = =
第三章变换群与几何学 四、 Klein变换群观点 射影几何 射影仿射几何 射影欧氏几何 P K (P, KA (P, KM) (PA,A (PA,M 仿射几何→「欧氏几何 →绝对子几何关系 K→KA→KM 相对子几何关系 伴随关系 变换群关系 A→M 绝对形:L=P\PA
第三章 变换群与几何学 四、Klein变换群观点 射影几何 (P,K) 射影仿射几何 (P,KA) 射影欧氏几何 (P,KM ) 仿射几何 欧氏几何 (PA, A) (PA,M ) 绝对子几何关系 相对子几何关系 伴随关系 绝对形： l∞=P\PA. K KA KM A M 变换群关系