§2.5一维基本形的对合 定义二、代数表示三、确定对合的条件 四、对合不变元素
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件 四、对合不变元素
§2.5一维基本形的对合 五、 Desargues对合定理 定理225( Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四 点形的三双对边于同一对合的三对对应点 如图,P,P,Q,Q,R,R属于同一对合 注:由于对合的特性,图中在同一组对 D 边上带“′”和不带“的字母可以任意标 注证明利用几何条件,只要证 (PP, OR)-(PP, OR) PP PP PP PP (P, P,0, R)B(XP,D,C (P,!R, 0) CD (P, P,O,R)(P, P,R,Q) (PP, OR)=(PP,R2)=(PP, OR)
§ 2.5 一维基本形的对合 五、Desargues对合定理 定理2.25 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四 点形的三双对边于同一对合的三对对应点. 如图, P, P'; Q, Q'; R, R'属于同一对合. 注：由于对合的特性, 图中在同一组对 边上带“' ”和不带“' ”的字母可以任意标 注.证明. 利用几何条件, 只要证 (PP', QR) = (P'P, Q'R') ' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 ' 1 1 PP , P P P P, P P (P, P', Q, R) (B) (X, P', D, C) (A) (P, P', R', Q') (P, P', Q, R) (P, P', R', Q') (PP', QR) = (PP', R'Q') = (P'P, Q'R') l CD l
§2.5一维基本形的对合 五、 Desargues对合定理 定理225( Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四 点形的三双对边于同一对合的三对对应点 如图,P,P,Q,Q,R,R属于同一对合 注:由于对合的特性,图中在同一组对 边上带“'”和不带“"的字母可以任意标 汪 注:请写出本定理的对偶命题
§ 2.5 一维基本形的对合 五、Desargues对合定理 定理2.25 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四 点形的三双对边于同一对合的三对对应点. 如图, P, P'; Q, Q'; R, R'属于同一对合. 注：由于对合的特性, 图中在同一组对 边上带“' ”和不带“' ”的字母可以任意标 注. 注：请写出本定理的对偶命题
§2.5一维基本形的对合 五、 Desargues对合定理 例4如图,已知P,P,Q,Q为点列P)上对合的两对相异的对应 点,R为P)上的另外一点.求作R在此对合下的对应点R 解:作图步骤思考过程(共需作6条 直线,设计次序确定R 注:已知点列lP)上对合的两个不 变点X,Y求作任一点R的对应点R 即求作第四调和元素 注:若未指定R,则当A在平面上 变动时,可得到(P)上以X,Y为不变 元素的任意多的对应点偶
§ 2.5 一维基本形的对合 五、Desargues对合定理 例4 如图, 已知P, P'; Q, Q'为点列l(P)上对合的两对相异的对应 点, R为l(P)上的另外一点. 求作R在此对合下的对应点R'. 解：作图步骤思考过程(共需作6条 直线, 设计次序确定R'). 注：已知点列l(P)上对合的两个不 变点X, Y. 求作任一点R的对应点R'. 即求作第四调和元素. 注：若未指定R, 则当A在平面上 变动时, 可得到l(P)上以X, Y为不变 元素的任意多的对应点偶
§2.5一维基本形的对合 例5(P79,EX.5)设A,B,C,D是共线点且(AB,DP)=(AB,PC)求 证:P有两种可能位置且与A,B调和共轭 证明.因为 (AB, DP)=(AB, PC)L> (AB, DP)=(BA, CP) PP,PP3 PP,P2P3 所以,P为A→BC→D所确定的对合中的不变点.设此对合的另 个不变点为P,则P也满足条件(AB,DP)=(AB,PC 于是,P有两种可能位置P,P为A→B:C→D所确定的对合中的 不变点满足(AB,PP)=
§ 2.5 一维基本形的对合 例5 (P.79, Ex. 5)设A, B, C, D是共线点且(AB, DP)=(AB, PC). 求 证：P有两种可能位置且与A, B调和共轭. 证明. 因为 (AB, DP) = (AB,PC) ( , ) ( , ) AB DP BA CP = ' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 ' 1 1 PP , P P P P, P P 所以, P为A→B; C→D所确定的对合中的不变点. 设此对合的另一 个不变点为P', 则P'也满足条件(AB, DP')=(AB, P'C). 于是, P有两种可能位置P, P'为A→B; C→D所确定的对合中的 不变点. 满足(AB, PP')=－1