§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 三、应用 1作图版一作二阶曲线上的点 作切线 2.证明题证明共线点,共点线问题
三、应用 1. 作图题 作二阶曲线上的点 作切线 § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 2. 证明题 证明共线点, 共点线问题
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 例3.如图,设 ABCDEF是一条二次曲线的 内接六点形,且 ABXCD=P, CDXEF=Q DE×AF=L,AF×BC=M,BC×DE=N, EFXAB=R求证:PL,MQ,RN共点 证明考察简单六点形 ABCDEF,利用 Pascal定理,再利用 Desargues定理即得结论 例4.若两个三点形ABC和ABC的对应顶 点连线交于一点S(如图),且其中一个三点形 的边与另一个三点形的非对应边交于 D,E,FG,H六个点,证明此六点在同一条 二次曲线上 证明应用 Desargues定理于ABC和A'BC", 再考察简单六点形 DEFGH,利用 Pascal定 理的逆定理,即得结论
例3. 如图, 设ABCDEF是一条二次曲线的 内接六点形, 且 AB×CD=P, CD×EF=Q, DE ×AF=L, AF×BC=M, BC×DE=N, EF×AB=R.求证: PL,MQ,RN共点. 证明. 考察简单六点形ABCDEF, 利用 Pascal定理, 再利用Desargues定理即得结论. 例4. 若两个三点形ABC和A'B'C'的对应顶 点连线交于一点S(如图), 且其中一个三点形 的边与另一个三点形的非对应边交于 D,E,F,G,H,I六个点，证明此六点在同一条 二次曲线上. 证明. 应用Desargues定理于ABC和A'B'C', 再考察简单六点形DEFGHI, 利用Pascal定 理的逆定理, 即得结论. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 例5.如图,三点形ABC内接于二阶曲线T, 其每一顶点处的切线构成另一个三点形 ABC.求证:AA',B’,CC共点 证明.由利用 Pascal定理的极限情况定理 4.12知,三点形ABC与B℃的对应边交点c 共线,据 Desargues透视定理得结论 例6.如上题图及条件 求证:A(BCAC)=B(AC,BA)=C(CACB)=-1. 提示:利用上例结论以及完全四点形的调和性(思考) 例7.(P116,EX6)设ABC,D为二阶曲线厂 上四个定点,P,Q为上的动点. PAXDC=X, PBXOD=Y求证X过定点 做不出!必定题目有问题! 改正:将 PAXDC=X改为PA×QC= 考察六点形 APBCOD,由 Pascal定理,Y经过定点AD×BC
例5. 如图, 三点形ABC内接于二阶曲线, 其每一顶点处的切线构成另一个三点形 A'B'C'. 求证：AA', BB', CC'共点. 证明. 由利用Pascal定理的极限情况定理 4.12知, 三点形ABC与A'B'C'的对应边交点 共线, 据Desargues透视定理得结论. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 例6. 如上题图及条件. 求证：A(BC,A'C') = B(AC,B'A') = C(CA,C'B') = -1. 提示：利用上例结论以及完全四点形的调和性(思考). 例7. (P.116, Ex.6)设A,B,C,D为二阶曲线 上四个定点, P,Q为上的动点. PA×DC=X, PB×QD=Y. 求证XY过定点. 做不出！必定题目有问题！ 改正： 将PA×DC=X 改为 PA×QC=X. 考察六点形APBCQD, 由Pascal定理, XY经过定点AD×BC
§4.3配极变换 在二次曲线理论中十分重要,二次曲线的大部分重要性质均 与配极有关.只讨论二阶曲线,总假定:非退化 设 S≡∑axx=0a1=a1an≠0 i,j=1 极点与极线1.引入 定义46两点P,Q关于共轭(如图) Q 定理4.13点P关于的共轭点的轨迹为 条直线Sn=0 P 证明设P(p)Qq则PQ与:S0的交点M(p+4q)满足 S.x2+2S.2+S=0 pp 设其两根为1,2则交点为M(P+21q1),G=1,2)于是(PQ,M1M2) 1分A142-1A1+2=0分 2四=0分S四 将q改为流动坐标x,得P关于r的共轭点的轨迹为直线S2=0
§ 4.3 配极变换 一、极点与极线 在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性质均 与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定：非退化. 设 : 0 ,| | 0. (1) 3 , 1 = = = i j j i i j i j S ai jxi xj a a a 1. 引入 定义4.6 两点P, Q关于共轭. (如图) 定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一 条直线Sp=0. 证明 设P(pi ), Q(qi ). 则PQ与 : S=0的交点M(pi+qi )满足 2 0. 2 Sqq + Spq + Spp = 设其两根为1 , 2 . 则交点为Mj ( pi+ jqi ), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2 )=– 1 1 / 2 =–1 1+ 2=0 − 2 = 0 = 0. pq qq pq S S S 将qi改为流动坐标xi , 得P关于的共轭点的轨迹为直线Sp=0
§4.3配极变换 极点与极线 1.引入 定理4.13点P关于T的共轭点的轨迹为一条直线S=0 推论45两点PQ关于共轭兮Sm=0.即 12 13 (n3P2,P3)a12a2a23q 13 3八q3 注1.验证两点PQ关于共轭,只要验证上式 注2.P在r上,则Sn=0,由推论45,规定:T上的点关于r自共轭 2.极点与极线 定义47对于点P,若 PEr P∈I 则称P关于T的 共轭点轨迹p 切线p 为P关于r的极线,方程为S=0.反之,称P为直线p关于的极点 注.由定义4.7及推论45,有 定义46∵:相互在对方极线上的两点称为关于的共轭点
§ 4.3 配极变换 一、极点与极线 1. 引入 定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0. 推论4.5 两点P, Q关于共轭Spq=0. 即 注2. P在上, 则Spp=0, 由推论4.5, 规定：上的点关于自共轭. 注1. 验证两点P, Q关于共轭, 只要验证上式. ( , , ) 0. 3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 1 2 3 = q q q a a a a a a a a a p p p 2. 极点与极线 定义4.7 对于点P, 若 P 则称P关于的 共轭点轨迹p P 切线p 为P关于的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于的极点. 注. 由定义4.7及推论4.5, 有 定义4.6': 相互在对方极线上的两点称为关于的共轭点