§2.5一维基本形的对合 定义 定义211.两个成射影对应的重叠的一维基本形中,若对任意 个元素,无论把它看着属于第一基本形的元素或是第二基本形的 元素,其对应元素相同,则称这种非恒同的射影变换为一个对合. 定义2.11设/为一维基本形[z上的一个非恒同的射影变换若 对任意的x∈[z],都有x)=f1(x),则f称为[z上的一个对合 注(1).对合非恒同 (2)对合是特殊的射影变换
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 定义2.11. 两个成射影对应的重叠的一维基本形中, 若对任意一 个元素, 无论把它看着属于第一基本形的元素或是第二基本形的 元素, 其对应元素相同, 则称这种非恒同的射影变换为一个对合. 定义2.11'. 设f 为一维基本形[π]上的一个非恒同的射影变换. 若 对任意的x∈[π], 都有f(x)=f –1 (x), 则f 称为[π]上的一个对合. 注 (1). 对合非恒同. (2). 对合是特殊的射影变换
§2.5一维基本形的对合 、定义二、代数表示 1、参数形式 定理220一维基本形[x]上的一个变换f为对合兮f的任一对对 应元素的参数λ满足双线性方程 a+b(+x)+d=0 (ad-b2≠0) (215) 注(1).这里指取定基元素A,对应元素为A+B4→+2B (2)从对应式可见2的地位完全平等故无论将一个已知元 素的参数代入到的位置求(求f下的像),还是代入到x的求λ (求1下的像),其结果相同.这恰为对合的本质特征,故可作为对 合的参数定义
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 1、参数形式 定理2.20 一维基本形[π]上的一个变换f 为对合f 的任一对对 应元素的参数λ,λ' 满足双线性方程 ' ( ') 0. ( 0) (2.15) 2 a +b + + d = ad −b 注 (1). 这里指取定基元素A≠B, 对应元素为A+λB↔A+λ'B. (2). 从对应式可见λ,λ'的地位完全平等. 故无论将一个已知元 素的参数λ0代入到λ的位置求 λ'(求f 下的像), 还是代入到λ'的求λ (求f –1下的像), 其结果相同. 这恰为对合的本质特征, 故可作为对 合的参数定义
§2.5一维基本形的对合 、定义二、代数表示 参数形式2、坐标形式 定理一维基本形[x]上的一个变换/为对合∫使任一对对应 元素的齐次坐标(x1,x2),(x1,x2)满足 111+ 122 lex2 =a2i, -, x (a1+a12a21≠0 注 (1)=>”f为对合>f为射影变换,将对合条件(4=pE(P0)代 入=>a1 <=”直接验证符合对合定义即可 (2)一维射影变换Dx 为对合→ 22 11
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 1、参数形式 定理 一维基本形[π]上的一个变换f 为对合f 使任一对对应 元素的齐次坐标(x1 , x2 ), (x1 ', x2 ')满足 注 (1). “=>” f 为对合=>f 为射影变换, 将对合条件(AA= ρE(ρ≠0))代 入=>a11 =–a22; “<=” 直接验证符合对合定义即可. (2). 2、坐标形式 ( 0). ' ' 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 + = − = + a a a x a x a x x a x a x . 2 2 1 1 2 1 ' 2 ' 1 a a x x A x x = − = 一维射影变换 为对合
§2.5一维基本形的对合 、定义二、代数表示三、确定对合的条件 1、代数条件 定理2.21不重合的两对对应元素确定唯一一个对合 推论2.11三对对应元素P,P{属于同一对合分其参数p2p满足 p,P, p,+p1 p2p2 p2+p (2.16) P2P3P2+P31 证明PP属于同一对合兮qp+b(p+p1)+d=0分此方程组对 b,d有非零解兮Pp+p10,即(2.16)成立 推论2.12已知不重合的两对对应元素的参数p1p'(=1,2),则 由此决定的对合方程为 nA2+h PiP P,+p, 1=0 (2.17) p2P2 p2+p2
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件 定理2.21 不重合的两对对应元素确定唯一一个对合. 推论2.11 三对对应元素Pi , Pi '属于同一对合其参数pi , pi '满足 0. (2.16) 1 1 1 ' 3 3 ' 3 3 ' 2 2 ' 2 2 ' 1 1 ' 1 1 = + + + p p p p p p p p p p p p 证明 Pi , Pi '属于同一对合apipi '+b(pi+pi ')+d=0此方程组对 a, b, d有非零解|pipi ' pi+pi ' 1|=0, 即(2.16)成立. 推论2.12 已知不重合的两对对应元素的参数pi , pi ' (i=1,2), 则 由此决定的对合方程为 0. (2.17) 1 1 ' ' 1 ' 2 2 ' 2 2 ' 1 1 ' 1 1 = + + + p p p p p p p p 1、代数条件
§2.5一维基本形的对合 、定义二、代数表示三、确定对合的条件 、代数条件 2、几何条件 定理222若一个一维射影变换∫使得其一对对应元素相互对 应(成为互易偶),则f必为对合 理解相互对应互易偶 f:(a,b,c,)x(a',b’,c,) 如果 f: (a b 2022 )A(a,a, b,cl 则称a,a为相互对应,也称a,a'为一个互易偶.此时,f对于a,a这 对对应元素满足对合条件只要证明f的任意一对对应元素都 是互易偶,则∫必为对合
§ 2.5 一维基本形的对合 一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件 1、代数条件 2、几何条件 定理2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对 应(成为互易偶), 则 f 必为对合. 理解 相互对应(互易偶) f :(a,b, c,...) (a' ,b' ,c',...) 如果 f :(a,a' ,b,c,...) (a' ,a,b' ,c',...) 则称a, a'为相互对应, 也称a, a'为一个互易偶. 此时, f 对于a, a'这 一对对应元素满足对合条件. 只要证明 f 的任意一对对应元素都 是互易偶, 则 f 必为对合