§4.5二次点列上的射影变换 总假定:所论二次曲线非退化.仅讨论二阶曲线 二次点列上的射影对应 1、定义 定义4.12二阶曲线I上全体|定义412二级曲线r上全体 点的集合称为一个二次点列,直线的集合称为一个二次线束 称为这点列的底 称为这线束的底 记作r(4,BC…)或Ⅳ(P或r.记作r(abc)或r()或厂 只讨论二次点列 注:作为点的集合,二次点列与一次点 列、线束都具有同样多的元素
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 总假定：所论二次曲线非退化. 仅讨论二阶曲线 定义4.12 二阶曲线上全体 点的集合称为一个二次点列, 称为这点列的底. 记作(A,B,C,…)或(P)或. 定义4.12' 二级曲线'上全体 直线的集合称为一个二次线束, '称为这线束的底. 记作'(a,b,c,…)或'(p)或'. 只讨论二次点列. 1、定义 注：作为点的集合, 二次点列与一次点 列、线束都具有同样多的元素
§4.5二次点列上的射影变换 二次点列上的射影对应 2、二次点列上四点的交比 定义4.13设A,B,C,D为二次点列上四点则其交比定义为 (AB, CD)=S(AB, CD) 其中S为r上任意一点.若上述交比为-1,则称这四点构成二次点 列上一个调和点组 注:由推论4.3,(AB,CD)与S的选取无关, 本定义合理
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 定义4.13 设A, B, C, D为二次点列上四点. 则其交比定义为 (AB, CD)=S(AB, CD). 其中S为上任意一点. 若上述交比为–1, 则称这四点构成二次点 列上一个调和点组. 注：由推论4.3, (AB,CD)与S的选取无关， 本定义合理. 2、二次点列上四点的交比
§4.5二次点列上的射影变换 、二次点列上的射影对应 3、二次点列间的射影对应 定义4.14如图所示点列、线束与二次点列 之间的透视对应 记作:S(P)天I(P);x(P1)天r(P) 注1:线束与二次点列,束心须在上;点列与二次点列,对应 点连线共点于T上 注2:点列、线束与二次点列之间的透视对应是保交比的双射 定义4.15若两个二次点列分别 与两个射影线束透视,则这两个 次点列成射影对应 S(P)A S(P) S(P)A I(P T(P)Ar(P) S(PD AT(PO
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 定义4.14 如图所示点列、线束与二次点列 之间的透视对应. 定义4.15 若两个二次点列分别 与两个射影线束透视, 则这两个二 次点列成射影对应. 记作：S(P) (P)；x(P1 ) (P). S(P) (P) S'(P') '(P') S(P) S'(P') (P) '(P') 注2：点列、线束与二次点列之间的透视对应是保交比的双射. 注1：线束与二次点列, 束心须在上；点列与二次点列, 对应 点连线共点于上. 3、二次点列间的射影对应
§4.5二次点列上的射影变换 二次点列上的射影对应 4、 Steiner作图法 定理417(1)已知相异的三对对应点惟一确定两个二次点列间 的一个射影对应 (2)二次点列间的射影对应是一个保交比的双射 例1.已知两个二次点列r与r的射影对应的三双相异的对应点 A,A’,B,BC,C(如图),求作上任一点P在r上的对应点 P( Steiner作图法) 注1直线BC称为r与r的射影 对应的透视轴.由作图,透视轴存在 而不惟 注2透视轴不惟一,但是P的对应 点P唯惟一存在
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 定理4.17 (1) 已知相异的三对对应点惟一确定两个二次点列间 的一个射影对应. (2) 二次点列间的射影对应是一个保交比的双射. 4、Steiner作图法 例1. 已知两个二次点列与'的射影对应的三双相异的对应点 A, A'; B, B'; C, C'(如图), 求作上任一点P在'上的对应点 P'(Steiner作图法). 注1 直线B0C0称为与'的射影 对应的透视轴. 由作图, 透视轴存在 而不惟一. 注2 透视轴不惟一, 但是P的对应 点P'惟一存在
§4.5二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的 个射影变换 定理418( Steiner)设∫为二次点列r上的一个非恒同的射影变 换.则存在惟一直线p,使得对于f的任何两对对应点A,A,B,B 都有PB=AB父AB在直线p0上.直线p称为∫的射影轴,简称轴 证明:(略,见教材) 注:射影轴即为三双对应点确定的 Pasa线轴与r的交点即为f的不变点 推论4.11二次点列上的一个非恒同 的射影变换∫的轴可由已知f的相异的三 对对应点完全确定 f的射影轴 推论412二次点列上任一个非恒同的射影变换f可由已知其 轴和一对相异的对应点完全确定
§ 4.5 二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义 同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的一 个射影变换. 定理4.18 (Steiner)设 f 为二次点列上的一个非恒同的射影变 换. 则存在惟一直线 p0 , 使得对于 f 的任何两对对应点A, A'; B, B', 都有PAB =AB'A'B在直线p0上. 直线 p0称为 f 的射影轴, 简称轴. 证明：(略, 见教材). 注：射影轴即为三双对应点确定的 Pascal线. 轴与的交点即为 f 的不变点. 推论4.11 二次点列上的一个非恒同 的射影变换 f 的轴可由已知 f 的相异的三 对对应点完全确定. 推论4.12 二次点列上任一个非恒同的射影变换 f 可由已知其 轴和一对相异的对应点完全确定. f 的射影轴