§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 两个古老而美丽的定理.内容包括两个定理及其逆定理,以 及它们的各种极限、退化形式.有着重要的应用意义! 核心是熟练掌握关于二次曲线内接简单六点形的对边、外 切简单六线形的对顶的规律. 简单六点形A142454简记为:123456 三双对边12,45;23,56;34,61(间隔(n2)2条边) 简单六线形a1a2a2a4a1a6简记为:123456 双对顶1×2,4×5;2×3,5×6;3×4,6×1(间隔(n-2)2 个顶点) 牢记对边、对顶的规律,对于掌握两个定理十分重要!
§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 两个古老而美丽的定理. 内容包括两个定理及其逆定理, 以 及它们的各种极限、退化形式. 有着重要的应用意义! 核心是熟练掌握关于二次曲线内接简单六点形的对边、外 切简单六线形的对顶的规律. 简单六点形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 简记为:123456 三双对边 12, 45;23, 56;34, 61(间隔(n–2)/2条边) 简单六线形 a1 a2 a3 a4 a5 a6 简记为:123456 三双对顶 1×2, 4×5;2×3, 5×6;3×4, 6×1(间隔(n–2)/2 个顶点) 牢记对边、对顶的规律, 对于掌握两个定理十分重要!
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 、 Pascal定理与 Brianchon定理 Brianchon点 定理4.7( Pascal) 定理47( Brianchon Pascal线 (6,1 5.6 6 2 4.5 2 (2,3 24 3,4) 注: Pascal定理的证明见教材,当I退化为两相交直线时, Pascal定 理即为 Pappus定理(§2.3,例2.10),比较这两个定理的证明过程,异曲 同工! 定理48( Pascal逆定理) 定理48( Brianchon逆定理) 注:利用 Pascal逆定理,引出很多作图题.比如:教材,例46
§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 一、Pascal定理与Brianchon定理 定理4.7(Pascal) 定理4.7'(Brianchon) 定理4.8(Pascal逆定理) 定理4.8'(Brianchon逆定理) 注:利用Pascal逆定理, 引出很多作图题. 比如:教材, 例4.6, 注:Pascal定理的证明见教材, 当退化为两相交直线时, Pascal定 理即为Pappus定理(§2.3, 例2.10), 比较这两个定理的证明过程, 异曲 同工! Pascal线 Brianchon点
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 、 Pascal定理与 Brianchon定理 例1.(P112,46)已知平面上五个点A,B,C,D,E(其中无三点共 线).求作由此五点所确定的二阶曲线r上任一点F 解作法:(1)连结AD,BE交于L (2)过L任作不经过已知点的直线p (3)连结CD交p于点M (4)连结CE交p于点N (5)连结AN,BM交于点F为所求 证明:考察简单六点形 ADCEBE因为其三双对边的交点L,M, N共线于p,由 Pascal定理的逆定理知,该六点形内接于一条二次曲 线I,因A,B,C,D,E中无三点共线,故非退化.变动直线p,可得到 I上其他点
§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 一、Pascal定理与Brianchon定理 例1. (P.112, 4.6)已知平面上五个点A, B, C, D, E(其中无三点共 线). 求作由此五点所确定的二阶曲线上任一点F. 解. 作法: (1) 连结AD, BE交于L. (2) 过L任作不经过已知点的直线p. (3) 连结CD交p于点M. (4) 连结CE交p于点N. (5) 连结AN, BM交于点F为所求. 证明: 考察简单六点形ADCEBF, 因为其三双对边的交点L, M, N共线于p, 由Pascal定理的逆定理知, 该六点形内接于一条二次曲 线, 因A, B, C, D, E中无三点共线, 故非退化. 变动直线p, 可得到 上其他点
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 二、 Pascal定理的极限形式 极限形式:指简单六点形有某些相邻顶点重合,此时,连结重 合的相邻顶点的边成为切线,将切线作为边,套用 Pascal定理即可 1.一对相邻顶点重合六点形—五点形 定理49内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线 与其对边的交点必在其余两对不相邻边的交点连线上 注:图中画线的次序实际上是给出了 根据定理49,已知非退化二阶曲线上相异 五点,求作其中一点处的切线的作法.见教 材,例47
§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 二、Pascal定理的极限形式 极限形式:指简单六点形有某些相邻顶点重合, 此时, 连结重 合的相邻顶点的边成为切线, 将切线作为边, 套用Pascal定理即可. 1. 一对相邻顶点重合 六点形 五点形 定理4.9 内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线 与其对边的交点必在其余两对不相邻边的交点连线上. 注:图中画线的次序实际上是给出了 根据定理4.9, 已知非退化二阶曲线上相异 五点, 求作其中一点处的切线的作法. 见教 材, 例4.7
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 二、 Pascal定理的极限形式 1.一对相邻顶点重合六点形—五点形 2两对相邻顶点重合六点形一四点形 (1)将四点形的一对对顶视为重合顶点—定理4.10 请对照教材,图4.11标字母 (3) 5(6) (2)将四点形的一对相邻顶 NM M 点视为重合顶点—定理411 请对照教材,图4.12标字母
二、Pascal定理的极限形式 1. 一对相邻顶点重合 六点形 五点形 2. 两对相邻顶点重合 六点形 四点形 (1). 将四点形的一对对顶视为重合顶点 定理4.10 请对照教材, 图4.11标字母. (2). 将四点形的一对相邻顶 点视为重合顶点 定理4.11 请对照教材, 图4.12标字母. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理