§4.6二次曲线的仿射理论 二阶曲线与无穷远直线的关系 相异的实点 <0 双曲型 =重合的实点兮A3=0{抛物型兮43的符号仿射不变 共轭的虚点 椭圆型 对非退化二阶曲线讨论:中心、直径与共轭直径、渐近线 二、二阶曲线的中心 无穷远直线的极点称为中心 有心:(431,A32,A3)无心:(431,A32,0)或(a12a10)或(a2,=a120) 三、直径与共轭直径
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 三、直径与共轭直径 33 0 0 0 A = 双曲型 抛物型 椭圆型 相异的实点 重合的实点 共轭的虚点 l∞ = A33的符号仿射不变. 有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0). 无穷远直线的极点称为中心. 对非退化二阶曲线讨论：中心、直径与共轭直径、渐近线…
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 1.定义 (1).直径(X,ZP)=-1 仿射定义 >解几定义 无穷远点P的有穷组平行弦中点的 远极线过中心的通常轨迹 直线) 1不是任何二阶曲线的直径! (2)共轭直径 (XY,ZP0)=-1 仿射定义 解几定义 直径AB的共轭直 直径AB的共轭直径 径为AB上无穷远点P为平行于AB的弦的中 的极线EF(相互通过对点轨迹EF 1 方极点的两直径) (3)共轭方向:与一对共轭直径平行的方向
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 (1). 直径 仿射定义 解几定义 无穷远点P的有穷 远极线(过中心的通常 直线). 一组平行弦中点的 轨迹. (XY, ZP)= –1 (2). 共轭直径 直径AB的共轭直 径为AB上无穷远点P 的极线EF(相互通过对 方极点的两直径). 直径AB的共轭直径 为平行于AB的弦的中 点轨迹EF. (XY, ZP)= –1 仿射定义 解几定义 (3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向. l不是任何二阶曲线的直径！
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 Q 1.定义2.性质 (1)有心二阶曲线r 入()「的任一对共轭直径与1一起,构成的 CAB (i)的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,多 自极三点形 且平行于共轭直径与交点处的两切线 (2)抛物线r (i)r的直径相互平行(l2不是抛物线的直径) (i)r的任一直径的极点为其与有穷远交点 处切线上的无穷远点 (i)I的任一直径平分其与r有穷远交点处切线 平行的弦(XY,ZP)=-1. (iv)抛物线没有共轭直径,将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 2. 性质 (1). 有心二阶曲线 (i) 的任一对共轭直径与l一起, 构成的一 个自极三点形. (ii) 的每一直径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与交点处的两切线. (2). 抛物线 (i) 的直径相互平行(l不是抛物线的直径). (ii) 的任一直径的极点为其与有穷远交点 处切线上的无穷远点. (iii) 的任一直径平分其与有穷远交点处切线 平行的弦. (XY, ZP)= –1. (iv) 抛物线没有共轭直径, 将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 1.定义2.性质3.直径的方程 (1)有心二阶曲线r (i)直径的方程因为直径是以的中心为束心的线束中的直线 以两特殊直径参数表示取两无穷远点(1,0,0),(0,1,0),其极线(对 应的直径)方程为 =0 h1:a1x1+a12x2+a13x3=0 aS 从而任一直径的方程为 l2:a12x1+a2x2+a2x3=0 0 ax asaS +k一=0.k∈R (4.37) 注:k的几何意义(437)表示的直径/方程可改写为: asaS 1+ k+.0=0 这说明/为(1,k0)的极线而(1,0)是的共轭直径上的无穷远点,从 而,(4.37)中的参数k为直径的共轭方向(共轭直径的斜率)
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 2. 性质 3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (i) 直径的方程. 因为直径是以的中心为束心的线束中的直线. 以两特殊直径参数表示. 取两无穷远点(1,0,0), (0,1,0), 其极线(对 应的直径)方程为 : 0 : 0 2 12 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 + + = + + = l a x a x a x l a x a x a x 即 0 0 2 1 = = x S x S 从而任一直径l的方程为 1 2 : 0, (4.37) S S l k k R x x + = 注: k的几何意义. (4.37)表示的直径l方程可改写为： 1 0 0 1 2 3 = + + x S k x S x S 这说明l为(1,k,0)的极线. 而(1,k,0)是l的共轭直径上的无穷远点, 从 而, (4.37)中的参数k为直径l的共轭方向(共轭直径的斜率)
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 1.定义2.性质3.直径的方程 (1)有心二阶曲线r i)两直径共轭的条件设直径1:S+k0S=0的共轭直径为 则为上的无穷远点(a12+ka2(a1+ka12),0)的极线从而的方程为 aS aS (a12+ka2)-(a1+ka2)=0 即+k=0.其中k=41+a2为斜率,即 a,2+ ka22 a2k+a12(k+k)+a1=0 A3≠0) (4.40) 从而,两直径共轭兮两直径的斜率满足对合方程 性质.在以有心二阶曲线r的中心为束心的线束中,直径与共 轭直径的对应是一个对合
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 2. 性质 3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (ii) 两直径共轭的条件. 设直径 : 0 1 2 = + x S k x S l 的共轭直径为l'. 则l'为l上的无穷远点(a12+ka22,–(a11+ka12),0)的极线. 从而l'的方程为 ( ) ( ) 0. 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 + = + − a k a x S a k a x S 即 ' 0. 1 2 = + x S k x S 其中 12 22 11 12 ' a k a a k a k + + = − 为l的斜率, 即 ' ( ') 0 ( 0) (4.40) 3 3 2 a2 2k k +a1 2 k + k + a1 1 = a1 1a2 2 − a1 2 = A 从而, 两直径共轭两直径的斜率满足对合方程. 性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共 轭直径的对应是一个对合