试卷号:GJ0311 南京师范大学考试试卷 《高等几何》,2003级期末考试,2006年1月9日 班别 学号0603 姓名 题号一三四五六七总分 得分 一、多种选择题(把代表正确答案的字母圈起来,每小题4分,共20分 1.对于三角形ABC,下述概念中何者为仿射不变的? A.重心;B.外心;C.中位线;D.垂心 (ABCD) 2.下列条件中,何者可唯一决定一条非退化二阶曲线r: A.两个成射影对应的线束; B.平面上任意五点(其中无四点共线); C.平面上任意四点(其中无三点共线)及其中一点处的切线; D. aijTix=0(aiy=a)且a≠0 (ABCD) j=1 3.判别一条非退化二阶曲线是否为有心曲线的依据是 A.A3是否非零; B.与l是否不相切; C.是否具有渐近线; D.r的任一直径是否存在共轭直径 (ABCD) 4.判别非退化二阶曲线的两条直径l,为共轭直径的依据是 A.一条直径上的无穷远点是另一直径的极点; B.在笛氏直角坐标系下,设l,l的斜率分别为kk,如果满足kk=-1 C.设t,t为的两条渐近线,如果(,tt)=-1 D.,为以r的中心为束心的线束中某一对合下的一对对应直线 (ABCD) 5.下列点对 A.(1,0,0)与(1,1,-2) B.(0,1,0)与(4,5,7) C.(1,1,1)与(0,0,1) D.(1,0,1)与(1,2,3). 是关于二阶曲线r:x2+x2+x3-6x1x2+2x1x3+2x23=0的共轭点(aCD)
1 ✁✂✄ GJ.0311 ☎✆✝✞✟✠✡☛☛☞ ✌✍✎✏✑✒✓ 2003 ✔✕✖✗✘✓ 2006 ✙ 1 ✚ 9 ✛ ✜✢ ✣✂ 06030 ✤✥ ✦✂ ✧ ★ ✩ ✪ ✫ ✬ ✭ ✮✯ ✰✯ ✱✲✳✴✵✶✷ (✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄✓❅❆✷ 4 ❇✓❈ 20 ❇). 1. ❉❊✩❋● ABC ✓❍■❏❑ ▲▼◆❖P◗❘❙❚❯ A. ❱❲❳ B. ❨❲❳ C. ▲❩❬❳ D. ❭❲❪ ( A B C D ) 2. ❍❫❴❵ ▲✓▼◆❛❜✧❝❞✧❴❡❢❣★❤✐❬ Γ : A. ❥ ❦❧◗♠❉♥❚❬♦❳ B. ♣qrst✫✉ (✈ ▲✇✪✉①❬ ) ❳ C. ♣qrst✪✉ (✈ ▲✇✩✉①❬ ) ②✈ ▲✧✉③❚④❬❳ D. P 3 i,j=1 aijxixj = 0 (aij = aji) ⑤ |aij | 6= 0. ( A B C D ) 3. ⑥ ✢✧❴❡❢❣★❤✐❬⑦⑧❖⑨❲ ✐❬❚⑩❶⑦❪ A. A33 ⑦⑧❡❷❳ B. Γ ❸ l∞ ⑦⑧❘❹④❳ C. Γ ⑦⑧❺⑨❻❼❬❳ D. Γ ❚s✧❽❾⑦⑧❿➀①➁❽❾❪ ( A B C D ) 4. ⑥ ✢❡❢❣★❤✐❬ Γ ❚ ❥ ❴❽❾ l, l0 ❖①➁❽❾❚⑩❶⑦❪ A. ✧❴❽❾r❚✇➂➃✉⑦➄✧❽❾❚➅✉❳ B. ➀➆ ➇❽❋➈➉➊❍✓➋ l, l0 ❚➌➍✯✢❖ k, k0 , ➎➏➐➑ kk0 = −1; C. ➋ t, t0 ❖ Γ ❚ ❥ ❴❻❼❬✓ ➎➏ (ll0 , tt0 ) = −1; D. l, l0 ❖ ➒ Γ ❚▲❲❖♦❲❚❬♦ ▲➓✧ ❉➔❍❚✧ ❉❉♥❽❬❪ ( A B C D ) 5. ❍❫✉ ❉ A. (1, 0, 0) ❸ (1, 1, −2); C. (1, 1, 1) ❸ (0, 0, 1); B. (0, 1, 0) ❸ (4, 5, 7); D. (1, 0, 1) ❸ (1, 2, 3). ⑦→❊ ★❤✐❬ Γ : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 6x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 0 ❚①➁✉❪ ( A B C D )
判断题(正确的打“√”,错误的打“×”,每小题1分,共5分) 1.任一条二阶曲线必有无数多个自极三点形 2.非退化二阶曲线I1关于非退化二阶曲线I的配极象是一条非退化二级曲 线I2 3.“两个三角形的面积比”是仿射几何的讨论内容 4.平面上的任何二维射影变换至少存在一个不变点和一条不变直线 5.对于二阶曲线:S≡∑a1=0(a=a1),A3为仿射不变量 ))) 基本题(每小题8分,共16分) 1.对于二阶曲线:5%y=0,=,(an)21,简要回答下列问题 (1).叙述二阶曲线的奇异点的概念 (2).判别r有、无奇异点的依据是什么? (3).在什么条件下,r有惟一奇异点,有无穷多的奇异点? (4).如果r有奇异点B,B关于r的极线是否惟一存在?为什么?
2 ➣ ↔↕➙➛ (➜➝➞➟ ➠√ ➡ ➢➤➥➞➟ ➠× ➡ ➢➦➧➛ 1 ➨➢➩ 5 ➨). 1. ➫➭➯➲➳➵➸➺➻➼➽➾➚ ➪➶➹➘➴➷ ( ) 2. ➬ ➮➱➲➳➵➸ Γ1 ✃ ❐ ➬ ➮➱➲➳➵➸ Γ ❒❮➶❰Ï➭ ➯ ➬ ➮➱➲Ð ➵ ➸ Γ2. ( ) 3. ➠Ñ➚➹Ò➴ ❒ÓÔÕ➡ÏÖ×ØÙ❒ ÚÛ ÜÝ➷ ( ) 4. ÞÓß ❒➫ Ù➲à×áâãäåæç➭ ➚èâ➘é ➭ ➯èâê➸➷ ( ) 5. ë❐➲➳➵➸ Γ : S ≡ P 3 i,j=1 aijxixj = 0 (aij = aji), A33 ì Ö×èâí➷ ( ) î ↔ïð➛ (➦➧➛ 8 ➨➢➩ 16 ➨). 1. ë❐➲➳➵➸ Γ : S ≡ P 3 i,j=1 aijxixj = 0, aij = aji,(aij ) ≥ 1, ñòóôõö÷ø➷ (1). ùú➲➳➵➸ ❒ ûü➘ ❒ ýþ➷ (2). ÿ Γ ➻ ↔➼ûü➘ ❒ ✁✂Ï✄☎✆ (3). ç✄☎➯✝õ ➢ Γ ➻✞ ➭ ûü➘ ➢➻➼✟➾ ❒ ûü➘✆ (4). ✠✡ Γ ➻ûü➘ P0, P0 ✃ ❐ Γ ❒ ➶➸Ï☛✞ ➭ æç ✆ ì ✄☎✆
2.已知二阶曲线I:S≡+n2-2x1x2+2x1x3+2x2x3=0 (1).求直线l[1,-1,0关于P的极点坐标 (2).求点P(1,1,1)关于I的极线方程 四、证明题(16分).如图,过不在非退化二阶曲线r上一点T的两直线,分 别与T交于X,Y;A,B,BX×AY=C;AX×BY=D,CD交I于E,F;交l于S.又 R为r上任一点,RFl=P;RExl=Q.求证: (1).三点形CDT为r的一个 极三点形 (2).TE,TF分别与r相切于 E (3).在r上有(EF,XY)=-1 (4).S,T;PQ是点列1上以p X,Y为不变点的对合的两对对应
3 2. ☞ ✌✍✎✏✑ Γ : S ≡ x 2 1 + x 2 2 − 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 0, (1). ✒ ✓✑ l[1, −1, 0] ✔✕ Γ ✖ ✗✘✙✚✛ (2). ✒ ✘ P(1, 1, 1) ✔✕ Γ ✖ ✗✑✜✢✛ ✣ ✤✥✦✧ (16 ★). ✩ ✪✫✬✭✮✯✰✱✍✎✏✑ Γ ✲✳✘ T ✖✴✓✑ l, l0 ✵ ✶✷ Γ ✸✕ X, Y ; A, B, BX × AY = C; AX × BY = D, CD ✸ Γ ✕ E, F; ✸ l ✕ S. ✹ R ✺ Γ ✲✻✳✘ ✫ RF × l = P; RE × l = Q. ✒✼✽ (1). ✾ ✘✿ CDT ✺ Γ ✖✳❀ ❁✗ ✾ ✘✿✛ (2). T E, T F ✵✶✷ Γ ❂❃✕ E, F. (3). ✮ Γ ✲❄ (EF, XY ) = −1. (4). S, T ; P, Q ❅ ✘❆ l ✲ ❇ X, Y ✺ ✭ ❈✘ ✖ ❉❊ ✖✴❉❉❋ ✘✛
五、证明题(12分)设A,B为关于二阶曲线I的共轭点,过A任作一割线交 I于Q,R,而BQ,BR分别交r于S, 求证:A,S,P三点共线 六、作图题(15分)已知非退化二阶曲线r上相异四点A,B,CD(其中无三点 共线),以及I在A处的切线a,又直线p过点A且不同于a(如图) 求作:p与I的另一个交点E.(要求:作图并给出作法和证明,)
4 ● ✤✥✦✧ (12 ★). ❍ A, B ✺✔✕✍✎✏✑ Γ ✖ ■❏✘ ✫✬ A ✻❑✳▲✑ ✸ Γ ✕ Q, R ✫▼ BQ, BR ✵✶ ✸ Γ ✕ S, P. ✒✼✽ A, S, P ✾ ✘■✑✛ ◆ ✤❖P✧ (15 ★). ☞ ✌✯✰✱✍✎✏✑ Γ ✲❂◗❘✘ A, B, C, D(❙ ❚❯ ✾ ✘ ■✑) ✫ ❇ ❱ Γ ✮ A ❲✖❃ ✑ a ✫✹ ✓✑ p ✬✘ A ❳ ✭❨✕ a(✩ ✪). ✒❑✽ p ✷ Γ ✖ ❩ ✳ ❀ ✸ ✘ E. (❬✒✽ ❑ ✪ ❭❪❫❑❴❵✼❛✛ )
七、计算题(16分).已知二阶曲线r:x2+2n3+4x1x2+x1x3=0 (1).证明r是一条双曲线; (2)求r的中心坐标和渐近线方程; (3).求仿射坐标变换式,将r的方程化为仿射标准方程
5 ❜ ✤❝❞✧ (16 ★). ☞ ✌✍✎✏✑ Γ : x 2 1 + 2x 2 3 + 4x1x2 + x1x3 = 0. (1). ✼❛ Γ ❅✳❡❢ ✏✑ ❣ (2). ✒ Γ ✖❚❤✙✚❵✐❥✑✜✢❣ (3). ✒ ❦❧✙✚❈♠♥✫♦ Γ ✖ ✜✢✱ ✺ ❦❧✚♣✜✢✛