§4.6二次曲线的仿射理论 二阶曲线与无穷远直线的关系 相异的实点 0 双曲型 l=重合的实点兮A3=0分{抛物型A3的符号仿射不变 共轭的虚点 椭圆型 二、二阶曲线的中心 有心:(A 31,4132,4133 );无心:( 31,4132 )或(a12,-a1,0)或(a2-a120) 三、直径与共轭直径 方程:+k=0,k∈R为共轭直径的斜率 共轭条件:a2k+a12(k+k)+a1=0,(a1a2-a2=A3≠0) 性质.在以有心二阶曲线r的中心为束心的线束中,直径与共 轭直径的对应是一个对合
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 三、直径与共轭直径 33 0 0 0 A = 双曲型 抛物型 椭圆型 相异的实点 重合的实点 共轭的虚点 ×l∞ = A33的符号仿射不变. 有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0). 1 2 0, S S k k R x x + = 方程： 为共轭直径的斜率 2 22 12 11 11 22 12 33 共轭条件：a kk a k k a a a a A ' ( ') 0, ( 0) + + + = − = 性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共 轭直径的对应是一个对合
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线 定义.二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线 注1.等价定义:过中心的有穷远切线称为渐近线 注2.与渐近线平行的方向称为渐近方向 注3双曲线 实 有两条渐近线,一对渐近方向;抛物线无渐近线 椭圆 从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论
四、渐近线 1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线. 注1. 等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线. 注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向. 注3.双曲线 椭 圆 有两条 实 虚渐近线, 一对渐近方向；抛物线无渐近线. 从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论. § 4.6 二次曲线的仿射理论
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线 双曲线>双曲型对合 1.定义 2.性质 椭圆→椭圆型对合 1).渐近线是自共轭的直径 (2)在以二阶曲线的中心为束心的线束中,渐近线是对合 a2k+a12(k+k)+a1=0 11022 A32≠0 33 (4.40) 的两条不变直线 (3)有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭 直径
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 1. 定义 2. 性质 (1). 渐近线是自共轭的直径. (2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合 ' ( ') 0 ( 0) (4.40) 3 3 2 a2 2k k +a1 2 k + k + a1 1 = a1 1a2 2 − a1 2 = A 的两条不变直线. (3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭 直径. 双曲线 双曲型对合 椭 圆 椭圆型对合
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3.求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 T:S=∑axx1=0(an=an)an4≠=0,43≠0( 求的渐近线方程 法一.利用对合不变元素.在 a2+a12(k+k)+a1=0 C11 a2=A3≠0)(440) 中,令k=k得不变元素方程为 a2、y+2h2k+0 此方程的两根即为渐近线方向设两根为k(=1,2),分别代入 tk 0 OX 即可得两渐近线方程 ox 评注:此法简单且直接,但若上述参数表示中的两基线之一为 渐近线,则k中应有0或∞,实际计算时容易丢失一条渐近线
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 : 0 ( ),| | 0, 0 (1) 3 3 3 , 1 = = = S a x x ai j aj i ai j A i j i j i j 求Γ的渐近线方程. 法一. 利用对合不变元素. 在 ' ( ') 0 ( 0) (4.40) 3 3 2 a2 2k k +a1 2 k + k + a1 1 = a1 1a2 2 − a1 2 = A 中, 令k=k'得不变元素方程为 2 12 11 0 2 a22k + a k + a = 此方程的两根即为渐近线方向. 设两根为ki (i=1,2), 分别代入 0 1 2 = + x S k x S 即可得两渐近线方程. 评注：此法简单且直接, 但若上述参数表示中的两基线之一为 渐近线, 则ki中应有0或∞, 实际计算时容易丢失一条渐近线
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线3求渐近线方程 S=0 法二.利用中心和渐近方向.联立 得, x a1x1+2a12x1x2+a2x2=0, 这表示过原点的两直线,其上无穷远点即为与的交点,从而它 们平行于两渐近线,化为非齐次,得 +2anxy+a 0 设中心的非齐次坐标为(,m).则渐近线的方程为 a1(x-5)2+2a12(x-2)y-m)+a2(y-m)2=0 评注:此法简单且直接,只要求出中心的非齐次坐标,渐近线 的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 评注：此法简单且直接, 只要求出中心的非齐次坐标, 渐近线 的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式). 法二. 利用中心和渐近方向. 联立 得， = = 0 0 3 x S 2 0, 2 12 1 2 22 2 2 a11x1 + a x x + a x = 这表示过原点的两直线, 其上无穷远点即为与l∞的交点, 从而它 们平行于两渐近线, 化为非齐次, 得 2 0. 2 12 22 2 a11x + a x y+ a y = 设中心的非齐次坐标为(, ). 则渐近线的方程为 ( ) 2 ( )( ) ( ) 0. 2 12 22 2 a11 x − + a x − y − + a y − =