§24一维射影变换 维射影变换 1、定义 2、代数表示 (1)坐标表示 ∫p∞}=a1+o0≠0.,p≠0 (2.10) x2=a21+a22221a22 其中对应点的坐标是关于一维基本形[]上的同一坐标系取得的 (2)参数表示 定义.形如 axx +bx +cx+d=0 (ad-bc≠0) 的方程称为关于x,x的双线性方程
§ 2.4 一维射影变换 一、一维射影变换 1、定义 2、代数表示 0, 0 (2.10) ' ' 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 = + = + a a a a x a x a x x a x a x (1). 坐标表示 其中对应点的坐标是关于一维基本形[π]上的同一坐标系取得的. (2). 参数表示 定义. 形如 axx'+bx +cx'+d = 0 (ad −bc 0) 的方程称为关于x, x'的双线性方程
§24一维射影变换 维射影变换 1、定义2、代数表示 (1)坐标表示(2).参数表示 定理216一维基本形上的一个变换为射影变换兮其对应元素 的参数λ满足一个双线性方程 ann+ +ba+ch'+d=0 (ad-bc≠0)(2.13) 证 见教材,略. <=”.设一维基本形(P)上的一个变换q使得任一对对应元素的 参数λ,'满足双线性方程(2.13)显然是一个双射,只要证保交比 设λ11(=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数则 1-3 b41+d,b13+d(ad-be)(x1-3) a1+ca3+c(a1+c)(a13+c) 同法可以求出2442-43241-4,得到 (1-x3)(2-4)(41-3)(2-A4) (2-232)(41-x4)(2-13)(41-4)
§ 2.4 一维射影变换 一、一维射影变换 1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a'+b +c'+d = 0 (ad −bc 0) (2.13) 证 “=>”. 见教材, 略. “<=”. 设一维基本形(P)上的一个变换φ使得任一对对应元素的 参数λ,λ' 满足双线性方程(2.13). 显然φ是一个双射,只要证φ保交比. 设λi ,λi ' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数. 则 . ( )( ) ( )( ) ' ' 1 3 1 3 3 3 1 1 1 3 a c a c ad bc a c b d a c b d + + − − = + + + + + − = 同法可以求出λ2 '–λ4 ' , λ2 '–λ3 ' , λ1 '–λ4 ' , 得到 . ( )( ) ( )( ) ( ' ')( ' ') ( ' ')( ' ') 2 3 1 4 1 3 2 4 2 3 1 4 1 3 2 4 − − − − = − − − −
§24一维射影变换 维射影变换 1、定义2、代数表示 (1)坐标表示(2).参数表示 定理216一维基本形上的一个变换为射影变换兮其对应元素 的参数λ满足一个双线性方程 ann+ +ba+ch'+d=0 (ad-bc≠0)(2.13) 注1、(2.13)对于线束的射影变换同样适用 注2、(2.13)对于一般射影对应适用.只要将λ,作为对应元素 对于各自基本形中取定基元素的参数因此,(2.13)可以作为一维 射影对应的参数定义
§ 2.4 一维射影变换 注1、(2.13)对于线束的射影变换同样适用. 注2、(2.13)对于一般射影对应适用. 只要将λ, λ'作为对应元素 对于各自基本形中取定基元素的参数. 因此, (2.13)可以作为一维 射影对应的参数定义. 1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a'+b +c'+d = 0 (ad −bc 0) (2.13) 一、一维射影变换
§24一维射影变换 、一维射影变换的分类 1、分类 设有射影变换 P: ann+bn+cn'+d=o (ad-bc≠0)(2.13) 若存在∈R使a+(b+c)+d=0则称A+λB为的一个不变元素 定理217在实复射影平面上,任一个一维射影变换至少有 个不变元素.非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素. 证明.在(2.13)中,令=则有一维射影变换的不变元素方程 a2+(b+c)+d=0, (ad-bc≠0) 立刻可得结论.据此可得一维射影变换的分类: 0 相异实根 相异实不变元双曲型 △{=0→(214)有两个相同实根→(213)有两个相同实不变元称为抛物型 0 共轭虚根 共轭虚不变元椭圆型
§ 2.4 一维射影变换 二、一维射影变换的分类 1、分类 设有射影变换 : a'+b +c'+d = 0, (ad −bc 0) (2.13) 若存在 , 0 R 使 ( ) 0, 0 2 a0 + b + c + d = 则称A+λ0B为φ的一个不变元素. 定理2.17 在实复射影平面上, 任一个一维射影变换至少有一 个不变元素. 非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素. 证明. 在(2.13)中, 令λ=λ'. 则有一维射影变换的不变元素方程 ( ) 0, ( 0) (2.14) 2 a + b + c + d = ad −bc 立刻可得结论. 据此可得一维射影变换的分类： 0 0 (2.14) (2.13) 0 = 相异实根 相异实不变元 有两个相同实根 有两个相同实不变元称为 共轭虚根 共轭虚 双曲型 抛 不变元 物型 椭圆型
§24一维射影变换 一维射影变换的分类 、分类2、性质 (1)双曲型、椭圆型射影变换 定理2.18对于双曲、椭圆型射影变换,任一对相异的对应元素 与两个不变元素的交比为定值,称为双曲、椭圆型射影变换的特征 不变量 证明.设X,Y为两个不变元素,PP为任一对相异的对应元素.设 X,Y,P,P的坐标依次为x,y,x+y,x+py.则这四点的参数依次为0,∞, ,.于是 0<0→aA+b+c2+d=0→d=0. 0<0→a+b-+C-+d-=0→a=0. 1<>→ b+cu 0→ 从而,(XY,PP)= C 常数 b
§ 2.4 一维射影变换 二、一维射影变换的分类 1、分类 2、性质 (1). 双曲型、椭圆型射影变换 定理2.18 对于双曲、椭圆型射影变换, 任一对相异的对应元素 与两个不变元素的交比为定值, 称为双曲、椭圆型射影变换的特征 不变量. 证明. 设X, Y为两个不变元素, P≠P'为任一对相异的对应元素. 设 X, Y, P, P'的坐标依次为x, y, x+y, x+μy. 则这四点的参数依次为0, ∞, 1, μ. 于是 00a'+b +c'+d = 0d = 0. 0 0. ' 1 1 ' 1 a + b + c + d = a = 1 0 . c b b + c = = − 从而, . 1 ( , ') = = − = 常数 b c XY PP