§14平面对偶原则 、平面对偶原则 二、代数对偶 1.基本概念掌握了? 2.能够熟练地画出已知图形的对偶图形? 3.能够判别射影命题并熟练写出其对偶命题(含代数对偶) 4.看到一个命题自然想到其对偶命题? 5.一对重要图形(完全四点形、完全四线形)熟悉了?
一、平面对偶原则 二、代数对偶 1. 基本概念掌握了？ 2. 能够熟练地画出已知图形的对偶图形？ 3. 能够判别射影命题并熟练写出其对偶命题(含代数对偶)？ 4. 看到一个命题自然想到其对偶命题？ 5. 一对重要图形(完全四点形、完全四线形)熟悉了？
§1.5 Desargues定理 、 Desargues定理1、两个三点形的对应关系 2、 Desargues定理 定理( Desargues定理及其逆定理) 对于两个对应三点形, 存在透视中心→存在透视轴 十个点、十条直线,过每个点有 三条直线;在每条直线上有三个点 Desargues构图 你对此图化过了哪些功夫?
一、Desargues定理 1、两个三点形的对应关系 2、Desargues定理 定理 (Desargues定理及其逆定理) 存在透视中心 存在透视轴. 对于两个对应三点形， 十个点、十条直线，过每个点有 三条直线；在每条直线上有三个点 －－Desargues构图. 你对此图化过了哪些功夫？
§1.5 Desargues定理 二、应用举例 证明共线点与共点线问题 例1在欧氏平面上,设AABC的高线分另 为AD,BE,CF.而 BCXEF=X, CAXFD=Y ABXDE=Z求证:X,Y,Z三点共线 分析:为证X,Y,Z三点共线,试在图中找 出一对对应三点形,具有透视中心,且对应 边的交点恰为X,Y,Z 由题给,X,Y,Z分别为三对直线的交点,此三直线涉及到六个 字母,试 A D AD BC×EF=X BE→BE}共点于垂心G→ CAX FD=}三点共线 CF AB×DE=Z 所以,由三点形 ABCA DEF的对应即得结论
分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找 出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应 边的交点恰为X, Y, Z. 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 由题给, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个 字母, 试 A D B E C F 三点共线. AB DE Z CA FD Y BC EF X 例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别 为AD, BE, CF. 而BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线. AD BE G CF 共点于垂心 所以, 由三点形ABCDEF的对应即得结论
§1.5 Desargues定理 二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 例2设OY,OY,OZ为三条定直线,A,B为 定点,其连线经过O.R为OZ上的动点,直线 RA,RB分别与OX,OF交于P,Q.求证:PQ经 过AB上的一个定点 分析:因为R是动点,作R的另一个位置R' 得到P,Q,设PQ,PQ交于C只要证明A,B,C 三点共线 由OX,OY,OZ共点于O,只要找到一对对应三点形,其三对对 应顶点分别在OX,OY,OZ上,且三双对应边交点恰为A,B,C即可 如图,PQR,PQR正是所需 反 思条件“AB经过O”对于本题结论纯属多余
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 分析：因为R是动点，作R的另一个位置R'. 得到P' , Q' , 设P'Q' , PQ交于C.只要证明A, B, C 三点共线. 由OX, OY, OZ共点于O, 只要找到一对对应三点形，其三对对 应顶点分别在OX, OY, OZ上, 且三双对应边交点恰为A, B, C即可. 如图，PQR, P'Q'R'正是所需. 反思 条件“AB经过O ”对于本题结论纯属多余！ 例2 设OX, OY, OZ为三条定直线, A, B为 定点, 其连线经过O. R为OZ上的动点, 直线 RA, RB分别与OX, OY交于P, Q. 求证：PQ经 过AB上的一个定点
§1.5 Desargues定理 二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 例3已知完全四点形PQRS,其对边三 点形为ABC.设A1= BC XRO,B1= AC XRP C1= AB XPQ求证:A1,B1,C1三点共线 证明:考察三点形PQR与ABC,它们有 透视中心S,从而它们有透视轴,即A1,B1b C1三点共线 引申:同理可证 A,B,C;D,A1,E1;D,B,F;E1,F1C均为共线三点组
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 证明：考察三点形PQR与ABC，它们有 透视中心S，从而它们有透视轴，即A1 , B1 , C1三点共线. 引申：同理可证 , , ; , , ; , , ; , , . A1 B1 C1 D1 A1 E1 D1 B1 F1 E1 F1 C1均为共线三点组 例3 已知完全四点形PQRS, 其对边三 点形为ABC. 设A1=BC×RQ, B1=AC×RP, C1=AB×PQ. 求证：A1 , B1 , C1三点共线