§2.1交比 交比一最根本的射影不变量 点列中四点的交比 、定义 定义21.设P1,P2,P3,P4为点列P)中四点,且P1≠P2,其齐次 坐标依次为a,b,a+1b,a+2b则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的 个交比.定义为 (P2P3F)= 1) 称P1,P2为基点对,P32P4为分点对 定理21.设点列P)中四点P的齐次坐标为a+4,b(=1,2,34)则 (P2P3P4)= (1-213)(2-14) (2.2) (2-13)(41-x4) 2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算
§ 2.1 交比 一、点列中四点的交比 1、定义 交比 — 最根本的射影不变量 定义2.1. 设P1 , P2 , P3 , P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠P2，其齐次 坐标依次为a, b, a+λ1b, a+ λ2b. 则记(P1P2 ,P3P4 )表示这四点构成的 一个交比. 定义为 ( , ) . 2 1 1 2 3 4 PP P P = (2.1) 称P1 , P2为基点对， P3 , P4为分点对. 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − PP P P = (2.2) 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 5、交比的计算
§2.1交比 、点列中四点的交比 二、线束中四直线的交比 、线束的参数表示 设a,b为线束S(p)中取定的相异二直线则对于任意的p∈S(p) 其坐标可表示为 a+16 A∈R 称a,b为基线,λ为参数 注1这里ab,p均表示直线的齐次坐标 1=0 1=1←a+b:1=0←b 注2线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形 式,因此可由点列的交比对偶得到线束的交比 午作京师数科院周兴和
一、点列中四点的交比 二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈S(p), 其坐标可表示为 a + b R. 称a, b为基线, λ为参数. 注1 这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. λ=0 ↔ a; λ=1 ↔ a+b; λ=∞ ↔ b 注2 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形 式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比. 课件作者：南京师大数科院周兴和 § 2.1 交比
§2.1交比 二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 2、定义 定义23设p1p2,p3,p4为线束S(p)中四直线,且p12,其齐 次坐标依次为a,b,a+1b,a+A2b.则记(pp2p3D4)表示这四直线构 成的一个交比定义为 (P1P2,P3P4)= (25) 称p1,p2为基线偶,p3,p为分线偶 定理25设线束S(p)中四直线p的齐次坐标为a+4b(=1,2,3,4) 则 (P1P2,P3P4) (1-23)(2-4) (2-3)41-4) (26) 注上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构
二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 定义2.3 设p1 , p2 , p3 , p4为线束S(p)中四直线，且p1≠p2，其齐 次坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(p1p2 , p3p4 )表示这四直线构 成的一个交比. 定义为 ( , ) . 2 1 1 2 3 4 p p p p = (2.5) 称p1 , p2为基线偶，p3 , p4为分线偶. 定理2.5 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − p p p p = (2.6) 2、定义 注 上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构. § 2.1 交比
§2.1交比 二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示2、定义 3、交比为射影不变量 定理26设线束S(p)中四直线被直线s截 于四点P(=1,2,3,4)则 (P1P2,P3P4)=(PP2,B3P) P4 证明设直线p1,p2p3,p4的齐次坐标分别为a,b,a+λ1b,a+2b 直线s的齐次坐标为c.由Thm1.6可以求出点P的坐标分别为 a, a,l la a P b, b 而 B(B+A1P2),P(B1+2P2) 于是 (p,BP)==(P2,P)
二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量 定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截 于四点Pi (i=1,2,3,4). 则 ( , ) ( , ). p1 p2 p3 p4 = P1 P2 P3 P4 证明 设直线p1 , p2 , p3 , p4的齐次坐标分别为a, b, a+λ1b, a+λ2b, 直线s的齐次坐标为c. 由Thm.1.6'可以求出点Pi的坐标分别为 , , , , , , 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 c c b b c c b b c c b b P c c a a c c a a c c a a P 而 ( ), ( ). P3 P1 + 1 P2 P4 P1 + 2 P2 于是 ( , ) ( , ). 1 2 3 4 2 1 p1 p2 p3 p4 = = PP P P § 2.1 交比
§2.1交比 二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量 定理26设线束S(D)中四直线被直线s截于四点P(=1,2,34) 则 (P1P2,P3P4)=(PP2,B3P2) 推论2.5设P为点列(P)中四点,P与不在/上的定点S连线依 次为(i=1,2,34).则 (P2,BP4)=(PD1P2,P3P4) 证明与定理2.6完全对偶. 由定理26和推论25,立即可得下述重要结论 定理2.7交比为射影不变量 注由定理27关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过 对偶的方式(或者截与连的方式)相互移植、相互转化
二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量 推论2.5 设Pi为点列l(P) 中四点, Pi与不在l上的定点S连线依 次为pi (i=1,2,3,4). 则 ( , ) ( , ). P1 P2 P3 P4 = p1 p2 p3 p4 证明 与定理2.6完全对偶. 定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi (i=1,2,3,4). 则 ( , ) ( , ). p1 p2 p3 p4 = P1 P2 P3 P4 由定理2.6和推论2.5, 立即可得下述重要结论 定理2.7 交比为射影不变量. 注 由定理2.7, 关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过 对偶的方式(或者截与连的方式)相互移植、相互转化. § 2.1 交比