第二章射影变換 本章地位 平面射影几何的核心内容之 在一维、二维射影空间以及齐 次坐标的基础上,系统学习 本章内容—维、二维射影变换及其一些特 殊情形,对一些射影性质进行 初步研究
第二章 射影变换 本章地位 平面射影几何的核心内容之一 本章内容 在一维、二维射影空间以及齐 次坐标的基础上，系统学习一 维、二维射影变换及其一些特 殊情形，对一些射影性质进行 初步研究
§2.1交比 交比一最根本的射影不变量 点列中四点的交比 1、定义 定义21.设P1,P2,P3,P4为点列P)中四点,且P1≠P2,其齐次 坐标依次为a,b,a+b,a+2b.则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的 个交比.定义为 (BB2,) 称P1,P2为基点对,P32P4为分点对 定理21.设点列P)中四点P的齐次坐标为a+4,b(=1,2,34)则 (P2,B3P4) (1-A3)(2-x4) (2-3)(41-4) (2.2)
§ 2.1 交比 一、点列中四点的交比 1、定义 交比 — 最根本的射影不变量 定义2.1. 设P1 , P2 , P3 , P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠P2，其齐次 坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(P1P2 ,P3P4 )表示这四点构成的 一个交比. 定义为 ( , ) . 2 1 1 2 3 4 PP P P = (2.1) 称P1 , P2为基点对， P3 , P4为分点对. 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − PP P P = (2.2)
§2.1交比 证明定理21以P1,P2,为基点,参数表示P3,P4设 a+41b=a’,a+2b=b 从中解出a,b,得 2-b b 于是,P1,P2,P3,P4的坐标可表示为 a bl a+ b 12-A12-112-12- b at 13-1 b. a 4-A1 12-13 12-x4 由交比的定义,有 ( .、P/=(3-4)2-4) (2.2 (2-3)41-4) 注:定理21可以作为交比的般定义
证明定理2.1. 以P1 , P2 ,为基点，参数表示P3 , P4 . 设 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − PP P P = a+λ1b=a' , a+λ2b=b'. 从中解出a, b, 得 . ' ' , ' ' 2 1 2 1 2 1 − − = − − = b a b a b a 于是， P1 , P2 , P3 , P4的坐标可表示为 即 ' , ' , ' ' , ' ' 2 1 4 1 2 1 2 4 2 1 3 1 2 1 2 3 a b a b a b − − + − − − − + − − ' , ' , ' ' , ' '. 2 4 4 1 2 3 3 1 a b a b a b − − + − − + 由交比的定义，有 注：定理2.1可以作为交比的一般定义. (2.2) § 2.1 交比
§2.1交比 、点列中四点的交比1、定义 2、性质 (PP,PP4) (-A3)(2-x) (1)交比的初等几何意义 (2-3)41-4) 如果限于欧氏平面,则(22)式右边四个因式都是两点之间 的有向距离,即 (P2,BP4) PP3·P2P4 (23) P2P3. PP4 例1.设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点证明 1)(12,34)(12,45)(12,53)=1 (2)(12,34)(12,56)=(12,36(12,54) 13·2414·2515·23 (1)(12,34)(12,45)(12,53)= 23.1424.152513 13·2415·2613.2615·24 (2)(12,34)(12,56) (12,36)(12,54 23.14251623.1625·14
一、点列中四点的交比 1、定义 ( , ) . 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 P P PP PP P P PP P P = 2、性质 (1). 交比的初等几何意义 如果限于欧氏平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间 的有向距离，即 (2.3) ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − PP P P = § 2.1 交比 例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点. 证明 (1) (12,34)(12,45)(12,53)=1; (2) (12,34)(12,56)=(12,36)(12,54). 13 24 14 25 15 23 (1) (12,34)(12,45)(12,53) 1. 23 14 24 15 25 13 = = 13 24 15 26 13 26 15 24 (2).(12,34)(12,56) (12,36)(12,54) 23 14 25 16 23 16 25 14 = =
§2.1交比 、点列中四点的交比1、定义 2、性质(1).交比的初等几何意义(2).交比的组合性质 定理22设(P1P2,P3P4)=.当改变这四点在交比符号中的次序 时,交比值变化规律如下: (1)不变/换两对 r→)r 两对同换 换一对r→ (2)改变 换中间或首尾r→>1-r 推论由定理2.2,相异的共线四点构成的24个交比只有6个 不同的值: 此即P45,式(24)不必背诵,但是要熟练掌握变化规律!
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 (1). 交比的初等几何意义 (2). 交比的组合性质 定理2.2 设(P1P2 ,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序 时，交比值变化规律如下： (1). 1 (2). 1 . r r r r r r → → → − 换两对 不变 两对同换 换一对 改变 换中间或首尾 推论 由定理2.2，相异的共线四点构成的24个交比只有6个 不同的值： . 1 , 1 1 ; 1 , 1 , 1 1 , − − − − r r r r r r r 此即P.45, 式(2.4). 不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！ § 2.1 交比