第三章变换群与几何学 、二维射影变换的特例 1、仿射变换 定义3.1在拓广平面上,保持无穷远直线不变的射影变换称 为射影仿射变换 定理3.1射影变换 ∑ 1,2,3,|anH≠0,p≠0 (3.1) 保持l:x3=0不变a31=a32=0 证明:(略,见教材) 显然,射影仿射变换形如 m1=a1x1+a12x2+a13x px2 =a21xta22x, +a,rx 3≠0,0≠0 (3.2) 作用于射影仿射平面(拓广平面上) 作者:南京师大数科院周兴和
第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 课件作者：南京师大数科院周兴和 1、仿射变换 定义3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称 为射影仿射变换. 定理3.1 射影变换 1,2,3,| | 0, 0 (3.1) 3 1 ' = = = j i i j j ai j x a x i 保持l∞：x3=0不变a31 =a32=0. 证明：(略, 见教材). 显然, 射影仿射变换形如 0, 0 (3.2) 3 3 3 3 3 3 3 ' 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 ' 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 ' 1 = = + + = + + a A x a x x a x a x a x x a x a x a x 作用于射影仿射平面(拓广平面上)
第三章变换群与几何学 、二维射影变换的特例 、仿射变换 显然,射影仿射变换形如 m1=a1x1+a12x2+a13x3 +ax+aax 343≠0,0≠0(32) 3343 作用于射影仿射平面(拓广平面上) 将(32)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式,得 x'=ax+b,y+C LA= ≠0 v=ax+b,y+C 称(3.3)决定的变换为仿射变换,作用于一般仿射平面上
第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 1、仿射变换 显然, 射影仿射变换形如 0, 0 (3.2) 3 3 3 3 3 3 3 ' 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 ' 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 ' 1 = = + + = + + a A x a x x a x a x a x x a x a x a x 作用于射影仿射平面(拓广平面上). 将(3.2)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式), 得 | | 0 (3.3) ' ' 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 = = + + = + + a b a b A y a x b y c x a x b y c 称(3.3)决定的变换为仿射变换, 作用于一般仿射平面上
第三章变换群与几何学 、二维射影变换的特例 、仿射变换 2、正交变换 定义32在仿射变换 x'=ax+by+C A|≠0 (3.3) y'=a,x+b,y+C, 中,如果矩阵A为正交阵,即满足A4=E,则称为正交变换,(3.3)的 齐次坐标表达式称为射影正交变换 注:正交变换作用于欧氏平面上,而射影正交变换则作用于 射影仿射平面上
第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 1、仿射变换 | | 0 (3.3) ' ' 2 2 2 1 1 1 = + + = + + A y a x b y c x a x b y c 中, 如果矩阵A为正交阵, 即满足AA'=E, 则称为正交变换, (3.3)的 齐次坐标表达式称为射影正交变换. 2、正交变换 定义3.2 在仿射变换 注：正交变换作用于欧氏平面上, 而射影正交变换则作用于 射影仿射平面上
第三章变换群与几何学 二维射影变换的特例 二、群与变换群 以下这些概念都将在《近世代数》课程中学习,我们仅承认 并应用 定义(代数运算)设A,B,C为集合,g为AXB到C的一个对应 则称为A×B到C的一个代数运算 特别地,若B=C=A,则称为集合A上的一个代数运算 注:代数运算可以满足结合律,交换律,分配律中的某一个或 者全部 定义了代数运算的集合称为代数系统,代数学就是研究代数 系统的科学
第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 二、群与变换群 定义 (代数运算)设A, B, C为集合, 为A×B到C的一个对应. 则称为A×B到C的一个代数运算. 特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算. 注：代数运算可以满足结合律, 交换律, 分配律中的某一个或 者全部. 以下这些概念都将在《近世代数》课程中学习, 我们仅承认 并应用. 定义了代数运算的集合称为代数系统, 代数学就是研究代数 系统的科学
第三章变换群与几何学 二维射影变换的特例 二、群与变换群 有形形式式的集合,更有各种各样的代数运算 比如,实数集R上的加(减法、乘(除)法都是R上的代数运算. 比如,对于数域F上的向量空间V数乘向量是F×到的一个 代数运算 比如,矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算 比如,sin不是一个代数运算,而 Sinacos8是一个代数运算
第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 二、群与变换群 比如, 实数集R上的加(减)法、乘(除)法都是R上的代数运算. 比如, 对于数域F上的向量空间V, 数乘向量是F×V到V的一个 代数运算. 有形形式式的集合, 更有各种各样的代数运算. 比如, 矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算. 比如, sin不是一个代数运算, 而sincos是一个代数运算