§2.3一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 二、一维射影对应的综合法定义 三、射影对应成为透视对应的条件
§ 2.3 一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 二、一维射影对应的综合法定义 三、射影对应成为透视对应的条件
§2.3一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 定义27设在两个点列上各取定齐次坐标系.称由非奇异线性 对应 m1=a1x1+a12X2 12 ≠0,p≠0 (2.10) x2=a21x1+a2x2a21a2 决定的两点列间的对应为射影对应其中(x1,x2)与(x1,x2)为任 对对应点的齐次坐标,p为非零比例常数 (2.10)也常写成 x(a1a12)x1 或p=AX,|A≠0 定理2.15代数定义 AY Steiner定义 证明.(略,见教材) 注.相差一个非零比例常数的二阶非异矩阵为同一个一维射 影对应的矩阵
§ 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 定义2.7 设在两个点列上各取定齐次坐标系. 称由非奇异线性 对应 0, 0 (2.10) ' ' 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 = + = + a a a a x a x a x x a x a x 决定的两点列间的对应为射影对应. 其中(x1 , x2 )与(x1 ' , x2 ')为任一 对对应点的齐次坐标, ρ为非零比例常数. (2.10)也常写成 , ' , | | 0. ' ' 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 = = X AX A x x a a a a x x 或 定理2.15 代数定义Steiner定义. 证明. (略, 见教材). 注. 相差一个非零比例常数的二阶非异矩阵为同一个一维射 影对应的矩阵
§2.3一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 0x1=C11xX1+a12x 2 lax2'=a2-1+a2x-x2a2i a,2l ≠0,p≠0 (2.10) 注1.当不涉及无穷远元素时,(2.10)可以写成非齐次形式,即 aux+a 12 an≠0 a21X+02 或 axx+bx+crtd=0 (ad-bc≠0 注2.对(2.10)中比例常数p的理解 注3.由(2.10)理解定理2.12.相异的三对对应元素唯一确定 个射影对应 例2.(P66,例2.11)求射影对应式,使l上的点(1,0,(2,1),(4,1) 依次对应于上的点(1,0),(-1,1),(1,1)
§ 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 注1. 当不涉及无穷远元素时, (2.10)可以写成非齐次形式, 即 ' , | | 0. 21 22 11 12 + + = ai j a x a a x a x 或 axx'+bx +cx'+d = 0, (ad −bc 0). 注2. 对(2.10)中比例常数ρ的理解. 注3. 由(2.10)理解定理2.12. 相异的三对对应元素唯一确定一 个射影对应. 0, 0 (2.10) ' ' 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 = + = + a a a a x a x a x x a x a x 例2. (P.66, 例2.11)求射影对应式, 使l上的点(1, 0), (2, 1), (4, 1) 依次对应于l'上的点(1, 0), (–1, 1), (1, 1)
§2.3一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 例2求射影对应式,使上的点(1,0,(2,1),(4,1)依次对应于 上的点(1,0),(-1,1),(1,1) 解.设所求对应式为 ∫mx=41x+a1x2 (2.10) 2=a21x1+a2,x 2 将已知三对对应点的坐标分别代入,得 6个方程 x 7个未知数 (1,0) (1,0) 11 0 的齐次线 2a1+a1 性方程组 11 12 (2,1) 2a21+ P3=4a1+a12 4an,+
§ 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 (2.10) ' ' 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 = + = + x a x a x x a x a x 例2. 求射影对应式, 使l上的点(1, 0), (2, 1), (4, 1)依次对应于l' 上的点(1, 0), (–1, 1), (1, 1). 解. 设所求对应式为 将已知三对对应点的坐标分别代入, 得 xi xi ' (1, 0) (1, 0) = = 21 1 11 0 a a (2, 1) (–1, 1) = + − = + 2 21 22 2 11 12 2 2 a a a a (4, 1) (1, 1) = + = + 3 21 22 3 11 12 4 4 a a a a 6个方程, 7个未知数 的齐次线 性方程组
§2.3一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 求解过程:消去p2求出a的一组比值即可 0 0=a21 =2a1+a1 a1+ n2=2a21+a2一代入O2=a2 一2a1+a2+a2=0 4 a1+ 11 12 4a1+ 2 4a1,+ 11 12 2-a2=0 a2=4a1+a2 22 解得a1:a12:a21:a2=1:-3:0:1 于是,所求对应式为 =x;-3x
§ 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 求解过程：消去ρi , 求出aij的一组比值即可. = = 21 1 11 0 a a = + − = + 2 21 22 2 11 12 2 2 a a a a = + = + 3 21 22 3 11 12 4 4 a a a a a21 = 0 代入 = − = + 2 22 2 2 11 12 a a a = = + 3 22 3 4 11 12 a a a + − = + + = 4 0 2 0 11 12 22 11 12 22 a a a a a a 解得 a11 : a12 : a21 : a22 =1:−3:0:1 于是, 所求对应式为 = = − 2 2 1 1 2 ' ' 3 x x x x x