§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性 定理21完全四点形的一对定理2.完全四线形的 对边被过此二边交点的对边三对对顶被在此二对顶连线上的 点形的两边调和分离 对顶三线形的二顶点调和分离 如图经过三个对边点XY2Z如图在三条对顶线x,y,z上 各有一个调和直线组,比如各有一个调和点组,比如x ss.tt (SS,TT")=-1 此二定理说明:上述两图中各有三个调和元素组
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 定理2.11 完全四点形的一对 对边被过此二边交点的对边三 点形的两边调和分离. 定理2.11' 完全四线形的一 对对顶被在此二对顶连线上的 对顶三线形的二顶点调和分离. 如图, 经过三个对边点X,Y,Z 各有一个调和直线组, 比如X (ss' ,tt') = −1. 如图, 在三条对顶线x, y, z上 各有一个调和点组, 比如x (SS' ,TT') = −1. 此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组
§22完全四点形与完全四线形的调和性 、调和性 证明定理2.用综合法只要证明 (Ss,tr)=-1 以直线AB截此四直线,得 X(sS, tt)=(AB, PZ) 要证明(AB,PZ1.再以直线CD截此四直线,得 (AB, PZ=(DC, 07) 以点Y分别与上述等式两边的四点相连,据定理2.6可得 (AB, PZ)=(DC, OZ)=(BA, PZ) 也就是(AB,PZ)=(BA,PZ)= (AB, PZ →(AB,PZ)2=1 注意到A,B,PZ四点互异,必有(AB,PZ=1.证毕
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 证明定理2.11 用综合法. 只要证明 (ss' ,tt') = −1. 以直线AB截此四直线，得 X (ss' ,tt') = (AB,PZ). 只要证明(AB, PZ)=–1. (AB,PZ) = (DC,QZ). 以点Y分别与上述等式两边的四点相连，据定理2.6可得 (AB,PZ) = (DC,QZ ) = (BA,PZ). 也就是 ( , ) 1 ( , ) ( , ) AB PZ AB PZ = BA PZ = ( , ) 1. 2 AB PZ = 注意到A, B, P, Z四点互异，必有(AB, PZ)=–1. 证毕. 再以直线CD截此四直线，得
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性 推论2.8在完全四点形的对推论28通过完全四线形的 边三点形的每条边上,有一个对顶三线形的每个顶点有一个 调和点组,其中一对为对边点,调和直线组,其中一对为对顶 另一对为该边与第三组对边的线,另一对为该顶点与第三对 交点 对顶的连线 比如在边t上,有 比如经过顶点T,有 (XY,PQ)=-1 (xy, pq 此二推论说明:上述两图中又各有三个调和元素组
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 推论2.8 在完全四点形的对 边三点形的每条边上, 有一个 调和点组, 其中一对为对边点, 另一对为该边与第三组对边的 交点. 推论2.8' 通过完全四线形的 对顶三线形的每个顶点有一个 调和直线组, 其中一对为对顶 线，另一对为该顶点与第三对 对顶的连线. (XY,PQ) = −1. 比如经过顶点T, 有 (xy, pq) = −1. 此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组 比如在边t上, 有
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性 推论29在完全四点形的每推论9通过完全四线形的 条边上有一个调和点组,其中每个顶点有一个调和直线组, 对为顶点,另一对中一个为其中一对为边,另一对中, 对边点,一个为该边与对边三条为对顶线,一条为该顶点与 点形的边的交点 对顶三线形顶点的连线 入 比如在边AB上,有 比如经过顶点a×b,有 (AB3PZ)=-1 (ab,pz)=-1 此二推论说明:上述两图中又各有六个调和元素组
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 推论2.9 在完全四点形的每 条边上有一个调和点组, 其中 一对为顶点, 另一对中一个为 对边点, 一个为该边与对边三 点形的边的交点. 推论2.9' 通过完全四线形的 每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为边，另一对中, 一 条为对顶线, 一条为该顶点与 对顶三线形顶点的连线. (AB, PZ) = −1. 比如经过顶点a×b, 有 (ab, pz) = −1. 此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组 比如在边AB上, 有
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性二、应用 1、第四调和元素的作图 例1已知直线让上相异三点P1P2P3求作第四调和点P2 分析:利用推论2.8,构造一个完全四点 形,以为其对边三点形的一边,P1,P2是对边 使第三对对边中,一条过P3,则另一条与 的交点即为P4 解作法:(1).在1外任取一点A,连AP1AP2 (2).过P3作直线分别交AP1,AP2于B,D (3)连P1D,P2B交于C (4)连AC交P为所求 证明:(略)据推论2.8(或2.9) 注1述实际上也是利用推论29作图 注2本例引申
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1 , P2 , P3 . 求作第四调和点P4 . 分析：利用推论2.8, 构造一个完全四点 形, 以l为其对边三点形的一边, P1 , P2是对边 点, 使第三对对边中, 一条过P3 , 则另一条与l 的交点即为P4 . 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1 , AP2 . (2). 过P3作直线分别交AP1 , AP2于B, D. (3). 连P1D, P2B交于C. (4). 连AC交l于P4为所求. 证明: (略)据推论2.8(或2.9). 注1 上述实际上也是利用推论2.9作图. 注2 本例引申