§4.1二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 设r:T≡b 0(b=b)b≠0 1.定义.一般地,过平面上一点有r的两条直线若过平面上某 点P有且仅有T的一条直线,则称P为I的一个切点
§ 4.1 二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 设 ': = 0 ( = ) | | 0 (1') T bi jui uj bi j bj i bi j 1. 定义. 一般地, 过平面上一点有'的两条直线. 若过平面上某 点P有且仅有'的一条直线, 则称P为'的一个切点
§4.1二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 设T:T=∑b=0(b=b)1b≠0( 1.定义.一般地,过平面上一点有r的两条直线若过平面上某 点P有且仅有T的一条直线,则称P为I的一个切点 2.切点方程 观点:用两条相交直线描述点 方法:取一直线[l,以动直线m{m与之相交,有交点m 且标:若P=1Xm为切点,求其方程 过程:与二阶曲线的切线完全对偶,可以求出切点方程 结论: 一般在上的切点):72=TT (5) 特殊(l属于r) T=0 (6) 也有各种常用的等价写法,请自行补出
§ 4.1 二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 设 ': = 0 ( = ) | | 0 (1') T bi jui uj bi j bj i bi j 1. 定义. 一般地, 过平面上一点有'的两条直线. 若过平面上某 点P有且仅有'的一条直线, 则称P为'的一个切点. 2. 切点方程 观点：用两条相交直线描述点. 方法：取一直线l[l i ], 以动直线m[mi ]与之相交, 有交点l×m. 目标：若P=l×m为切点, 求其方程. 过程：与二阶曲线的切线完全对偶, 可以求出切点方程. 结论： 一般('在l上的切点)： (5') 2 Tl = Tl lT 特殊(l属于Γ')： = 0 (6') Tl 也有各种常用的等价写法, 请自行补出
§4.1二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 例2(P110,EX.6)如果两个三点形ABC与ABC同时内接于一条 次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线 证.设交点D,E;D,E如图 因为A,B,C,A2B,C在同一条二次曲线上, 据二阶曲线的射影定义,有 C(B,A,B,A)AC(B,A, B, A') 又 C(B,A,B,ATAB(B,E, D, A') C(B, A, B,1)A AB(D,A,B,E) DYAB(B,E, D, A)A AB(D, A,B, E) 由二级曲线的射影定义,这两个射影点列的对应点连线以及点 列的底共六条直线属于同一条二级曲线,这六条直线恰好是已知两 个三点形的六条边.结论成立 注:本题的逆命题成立(见P0.,Ex.5)
§ 4.1 二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 例2 (P.110, Ex. 6)如果两个三点形ABC与A'B'C'同时内接于一条 二次曲线, 求证它们也同时外切于一条二次曲线. 证. 设交点D, E; D', E'如图. 因为A, B, C, A', B', C'在同一条二次曲线上, 据二阶曲线的射影定义, 有 C(B' , A, B, A') C'(B' , A,B, A'). 又 C(B' , A, B, A') A'B'(B' ,E' , D' , A') C'(B' , A,B, A') AB(D, A, B, E). A'B'(B' ,E' , D' , A') AB(D, A, B, E). 由二级曲线的射影定义, 这两个射影点列的对应点连线以及点 列的底共六条直线属于同一条二级曲线, 这六条直线恰好是已知两 个三点形的六条边. 结论成立. 注：本题的逆命题成立. (见P.110, Ex. 5)
§4.1二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 例2(P110,EX.6)如果两个三点形ABC与ABC同时内接于一条 二次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线 注:假设P110,EX.5已经证明.则有:两个三点形ABC与ABC 同时内接于一条二次曲线兮它们也同时外切于一条二次曲线 注:(P1,Ex.7)若已知两条二次曲 线T与以及内接于r并外切于I的 个三点形.试讨论是否存在其他三点形 也满足此条件?若存在,有多少? 答:存在,有无穷多.(依据:P110, Ex.5,6;推论4.1,4.1)
§ 4.1 二次曲线的射影定义 五、二级曲线的切点 例2 (P.110, Ex. 6)如果两个三点形ABC与A'B'C'同时内接于一条 二次曲线, 求证它们也同时外切于一条二次曲线. 注：假设P.110, Ex. 5已经证明. 则有：两个三点形ABC与A'B'C' 同时内接于一条二次曲线它们也同时外切于一条二次曲线. 注：(P.110, Ex. 7)若已知两条二次曲 线与'以及内接于并外切于' 的一 个三点形. 试讨论是否存在其他三点形 也满足此条件? 若存在, 有多少? 答：存在, 有无穷多. (依据：P.110, Ex. 5, 6; 推论4.1, 4.1'.)
§4.1二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统 定理4.3( Maclaurin)一条非定理4.3( Maclaurin)一条非 退化二阶曲线的全体切线构成退化二级曲线的全体切点构成 条非退化二级曲线 条非退化二阶曲线 证明:设:S=∑qxx=0.则v=[1l24为r上P(p)处的切线 冷与Sn=0为同一直线兮 aS aS ox, OX 12C 22 0 (4.13) l20 展开,得T=∑41=0.且A=AA1HanP≠0
§ 4.1 二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统一 定理4.3(Maclaurin) 一条非 退化二阶曲线的全体切线构成 一条非退化二级曲线. 定理4.3'(Maclaurin) 一条非 退化二级曲线的全体切点构成 一条非退化二阶曲线. 证明：设 : = 0. ij i j S a x x 则u=[u1 ,u2 ,u3 ]为上P(pi )处的切线 u与Sp=0为同一直线 0 (4.13) 1 2 3 0 1 3 2 3 3 3 3 1 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 = u u u a a a u a a a u a a a u 展开, 得 0. ,| | | | 0. 2 T Ai jui uj = 且Ai j = Aj i Ai j = ai j . 3 3 2 2 1 1 = = = u x S u x S u x S p p p