于是特征方程为(+1)(-1)=3 +2 --1= 0故所求线性微分方程为y+y-y-y=0可见正确选项为（B）三、设(nx)-(+),计算[ (n)dt,x【详解】设lnx=t,则x=e，于是(0)= In(1+el)从而J()=+)--J (+e)-=-e* i(1+e')+J +erd =-e*i(1+e')+J-e* In(1+e*)+x-In(1+er)+C= x-(1+e")In(1+e*)+C四、设xOy平面上有正方形D=((x,)/0≤x≤1,0≤≤1)及直线l:x+y=t(t≥0)若S()表示正方形D位于直线/的左下方部分的面积，试求s()dt(x≥0)【详解】1x根据题设，有0x+y=t0-t?+2t-1,1<t≤2s(0)=1,t>2
于是特征方程为 ( )( ) 2 3 2 λ λ λλλ + − = + − −= 1 1 10 故所求线性微分方程为 ''' '' ' y yyy + − −= 0 可见正确选项为（B） 三、设 ( ) ln 1( ) ln , x f x x + = 计算 f ( x dx ) . ∫ 【详解】设ln , x = t 则 t x = e ，于是 ( ) ln 1( ) , t t e f t e + = 从而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( )( ) ln 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 1 1 1 ln 1 ln 1 1 ln 1 x x x x x xx xx x x xx x x x e f x dx dx e de e e e e dx e e dx e e e ex eC x e eC − − − − + = =− + ⎛ ⎞ =− + + =− + + − ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ =− + + − + + =− + + + ∫∫ ∫ ∫ ∫ 四、设 xOy 平面上有正方形 D xy x y = ≤≤ ≤≤ {( ) , | 0 1,0 1} 及直线l x y tt : 0 + = ≥ ( ) 若 S t( )表示正方形 D 位于直线l 的左下方部分的面积，试求 () ( ) 0 0 . x S t dt x ≥ ∫ 【详解】 根据题设，有 ( ) 2 2 1 ,0 1 2 1 2 1,1 2 2 1, 2 t t St t t t t ⎧ ≤ ≤ ⎪ ⎪ ⎪ =− + − <≤ ⎨ ⎪ ⎪ > ⎪ ⎩
可见，当0≤x≤1时，['s(0)dt = |(-t'dt =当1<x≤2时s()dt=rd+(+21-1)a2Ix+x?x+6当x>2时，'s(0)dt= f's()d + f's(0)dt = x-1因此Ix,0≤x≤1,61#+x-x+3S(t)dt =,1<x≤236x-1,x>2五、求函数(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f()(0)(n≥3)【详解】方法一：由麦克劳林公式(a) (0()=f(0)+F(0)x+(0),2!n!及r2xx In(1+x)= x(-1)*123x"-Y-14n-2比较x"的系数得f(") (0) (-1)(a-1)n!n-2() (0) = (-1)( n!所以n-2方法二：
可见，当0 1 ≤ ≤x 时， ( ) 2 3 0 0 1 1 ; 2 6 x x S t dt t dt x = = ∫ ∫ 当1 2 < ≤x 时 ( ) 2 2 0 01 3 2 1 1 2 1 2 2 1 1 6 3 x xx S t dt t dt t t dt xxx ⎛ ⎞ = + − +− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =− + − + ∫ ∫∫ 当 x > 2 时， () () () 2 0 02 1 x x S t dt S t dt S t dt x = + =− ∫∫∫ 因此 ( ) 3 3 2 0 1 ,0 1, 6 1 1 ,1 2 6 3 1, 2 x x x S t dt x x x x x x ⎧ ≤ ≤ ⎪ ⎪ ⎪ =− + −+ < ≤ ⎨ ⎪ ⎪ − > ⎪ ⎩ ∫ 五、求函数 () ( ) 2 f xx x = + ln 1 在 x = 0 处的 n 阶导数 ( ) (0 3 )( ) n f n ≥ 【详解】方法一： 由麦克劳林公式 () () () ( ) ( ) ( ) '' ' 2 0 0 0 0 2! ! n n f f fx f f x x x n = + + ++ + " " 及 ( ) ( ) ( ) 23 2 1 2 2 4 2 1 3 ln 1 1 23 2 1 4 2 n n n n xx x x x xx n x x x n − − − − ⎡ ⎤ + = − + − +− + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − = − + +− + − " " " " 比较 n x 的系数得 ( ) ( ) ( )( 1) 0 1 ! 2 n n f n n − − = − 所以 ( ) ( ) ( )( 1) 1 ! 0 2 n n n f n − − = − 方法二：