第七章定积分 §1定积分的概念和可积条件 定积分概念的导出背景 1609年至1619年间,德国天文学家 Kepler提出了著名的“行星运 动三大定律” (1)行星在椭圆轨道上绕太阳运 行星 动,太阳在此椭圆的一个焦点上。 (2)从太阳到行星的向径在相等的 太阳 时间内扫过相等的面积 (3行星绕太阳公转周期的平方与 其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。 图7.1.1
定积分概念的导出背景 1609年至1619年间，德国天文学家Kepler提出了著名的“行星运 动三大定律”： ⑴行星在椭圆轨道上绕太阳运 动，太阳在此椭圆的一个焦点上。 ⑵从太阳到行星的向径在相等的 时间内扫过相等的面积。 ⑶行星绕太阳公转周期的平方与 其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。 第七章 定积分 §1 定积分的概念和可积条件
这是天文学上划时代的发现( Newton正是在证明这些定律的过程 中发现了万有引力定律,进而创立了现代天体力学),而且也是数学 发展史上的重要里程碑。 方面,在古希腊的数学家们发现了圆锥曲线的性质之后的一千 八百多年以来,人们从未想到过,这样的纯数学结果居然会有如此辉 煌的实际应用价值 另一方面,为了确定第二定律, Kepler将椭圆中被扫过的那部分 图形分割成许多小的“扇形”,并近似地将它们看成一个个小的三角 形,运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限,成功地计算出 了所扫过的面积(图7.1.1)。在其卓有成效的工作中,已包含了现 代定积分思想的雏形
这是天文学上划时代的发现（Newton正是在证明这些定律的过程 中发现了万有引力定律，进而创立了现代天体力学），而且也是数学 发展史上的重要里程碑。 一方面，在古希腊的数学家们发现了圆锥曲线的性质之后的一千 八百多年以来，人们从未想到过，这样的纯数学结果居然会有如此辉 煌的实际应用价值。 另一方面，为了确定第二定律，Kepler将椭圆中被扫过的那部分 图形分割成许多小的“扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角 形，运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限，成功地计算出 了所扫过的面积（图7.1.1）。在其卓有成效的工作中，已包含了现 代定积分思想的雏形
例如,求由两条直角边和一条抛物线y=x2所围成的所谓曲边三 角形的面积,可以采用以下的做法: 用步长h=-将0,1分成n个长度为h的小区间,其分割点(称为 分点)为 0,1,2, n 先在每个小区间[x,x,]上,构造以h为底、以f(x21)=x2为高的小 矩形,则所有这些小矩形的面积之和为 Sn=∑hx21=∑ 再在每个小区间[x1x]上,构造以h为底、以f(x)=x2为高的小矩形, 则所有这些小矩形的面积之和为 h n=1
例如，求由两条直角边和一条抛物线 y = x 2所围成的所谓曲边三 角形的面积，可以采用以下的做法： 用步长h n = 1 将[0, 1]分成n个长度为h的小区间，其分割点（称为 分点）为 xi = ih, i = 0, 1, 2, , n −1, n。 先在每个小区间[ , ] i 1 i x x − 上，构造以h为底、以 2 1 1 ( ) i− = i− f x x 为高的小 矩形，则所有这些小矩形的面积之和为 = = = − = − − = = n i n i n i n i i n n i n S h x 1 2 3 1 2 1 2 1 ( 1) 1 1 1 ； 再在每个小区间[ , ] i 1 i x x − 上，构造以h为底、以 2 ( ) i i f x = x 为高的小矩形， 则所有这些小矩形的面积之和为 = = = = = = n i n i n i n i i n n i n S h x 1 2 3 1 2 1 2 1 1
(图7.1.2)为上述过程的图示 y s 图7.1.2
(图7.1.2)为上述过程的图示
设曲边三角形的面积为S,则有 S<S<S 利用数学归纳法,容易证明 ∑(-1)2=12+22+32+…+(m-1 n(n-1)(2n-1) 12+22+32+…+n (n+1)(2n+1) 令n→>∞,得到 lim s lim n(n 1)(2n-1)1 n→ n(n+1)2n+1) 6 由极限的夹逼性,可知曲边三角形的面积为 S 3
设曲边三角形的面积为S ，则有 S S S n n 。 利用数学归纳法，容易证明 − = = n i i 1 2 ( 1) 6 ( 1)(2 1) 1 2 3 ( 1) 2 2 2 2 − − + + + + − = n n n n = = n i i 1 2 6 ( 1)(2 1) 1 2 3 2 2 2 2 + + + + + + = n n n n ， 令n →，得到 3 1 6 ( 1)(2 1) lim lim 3 = − − = → → n n n n S n n n 与 3 1 6 ( 1)(2 1) lim lim 3 = + + = → → n n n n S n n n ， 由极限的夹逼性，可知曲边三角形的面积为 1 3 S =