§3正项级数 正项级数 定义9.3.1如果级数∑xn的各项都是非负实数,即 xn≥0,n=1,2 则称此级数为正项级数
正项级数 定义 9.3.1 如果级数 n=1 n x 的各项都是非负实数，即 x n 0，n = 1,2,…， 则称此级数为正项级数。 §3 正项级数
§3正项级数 正项级数 定义9.3.1如果级数∑xn的各项都是非负实数,即 xn≥0,n=1,2 则称此级数为正项级数 显然,正项级数∑xn的部分和数列{Sn}是单调增加的,即 Sn=∑xk≤∑xk=Sm,n=1,2,…, 根据单调数列的性质,立刻可以得到 定理9.3.1(正项级数的收敛原理)正项级数收敛的充分必要 条件是它的部分和数列有上界 若正项级数的部分和数列无上界,则其必发散到+∝
显然，正项级数 n=1 n x 的部分和数列{ n S }是单调增加的，即 n S == n k k x 1 + = 1 1 n k k x =Sn+1， n = 1,2,…， 根据单调数列的性质，立刻可以得到 定理 9.3.1（正项级数的收敛原理） 正项级数收敛的充分必要 条件是它的部分和数列有上界。 若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到 +。 §3 正项级数 正项级数 定义 9.3.1 如果级数 n=1 n x 的各项都是非负实数，即 x n 0，n = 1,2,…， 则称此级数为正项级数
例931级数∑1m-xn+D 是正项级数。它的部分和数 列的通项 k k+1 n+2 Nk(k-1)k+1)点(“k In 2 In 2 n+1 所以正项级数∑7m=Dn+ 收敛
例 9.3.1 级数 2 2 1 ln ( 1)( 1) n n n n n n = − + 是正项级数。它的部分和数 列的通项 1 2 2 1 ln ( 1)( 1) n n k k k S k k k + = = − + 1 2 1 ln ln 1 n k k k k k + = + − − 2 ln 2 ln ln 2 1 n n + = − + ， 所以正项级数 2 2 1 ln ( 1)( 1) n n n n n n = − + 收敛
比较判别法 定理932(比较判别法)设∑x与∑是两个正项级数,若存 在常数A>0,使得 x.≤A (1)当∑yn收敛时,∑xn也收敛; n=1 (2)当∑xn发散时,∑yn也发散
比较判别法 定理 9.3.2(比较判别法) 设 n=1 n x 与 n=1 n y 是两个正项级数，若存 在常数 A 0，使得 x n A n y , n = 1,2,…， 则 (1)当 n=1 n y 收敛时， n=1 n x 也收敛； (2)当 n=1 n x 发散时， n=1 n y 也发散
比较判别法 定理932(比较判别法)设∑x与∑是两个正项级数,若存 在常数A>0,使得 x.≤A (1)当∑yn收敛时,∑xn也收敛; n=1 (2)当∑xn发散时,∑yn也发散。 证设级数∑xn的部分和数列为{Sn},级数∑yn的部分和数列 n=1 为{Gn},则显然有 ATn,n=1,2, 于是当{n}有上界时,{Sn}也有上界,而当{Sn}无上界时,{T}必定 无上界。由定理9.3.1即得结论
证 设级数 n=1 n x 的部分和数列为{ n S }，级数 n=1 n y 的部分和数列 为{Tn }，则显然有 n S ATn , n = 1,2,…。 于是当{Tn }有上界时，{ n S }也有上界，而当{ n S }无上界时，{Tn }必定 无上界。由定理 9.3.1 即得结论。 比较判别法 定理 9.3.2(比较判别法) 设 n=1 n x 与 n=1 n y 是两个正项级数，若存 在常数 A 0，使得 x n A n y , n = 1,2,…， 则 (1)当 n=1 n y 收敛时， n=1 n x 也收敛； (2)当 n=1 n x 发散时， n=1 n y 也发散