§5微积分实际应用举例 微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S的步骤:对区间[a,b作划分 a=x 0 <x1<x<…< 2 x=b 然后在小区间[x,x]中任取点,并记Ax,=x1-x21,这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值AS,≈f(5,)Ax,。最后,将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加,再取极限,就得到 S=m∑/(5A=Jf(x)dx
微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S 的步骤：对区间[a, b]作划分 a = x0 x1 x2 xn = b， 然后在小区间[ , ] i 1 i x x − 中任取点 i ，并记 i = i − i−1 x x x ，这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值 i i i S f ( )x 。最后，将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加，再取极限，就得到 = → = n i i i S f x 1 0 lim ( ) ( )d b a = f x x 。 §5 微积分实际应用举例
对于上述步骤,我们可以换一个角度来看:将分点x1和x,分别记 为x和x+Ax,将区间[x,x+Ax上的小曲边梯形的面积记为AS,并取 =x,于是就有ΔS≈f(x)Ax。然后令Ax→>0,这相当于对自变量作微 分,这样Ax变成dx,AS变成dS,于是上面的近似等式就变为微分形 式下的严格等式dS=f(x)dx。最后,把对小曲边梯形面积的近似值进 行相加,再取极限的过程视作对微分形式dS=f(x)dx在区间[a,b上求 定积分,就得到 S=Sf(dx
对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点 xi−1 和 xi 分别记 为 x 和 x + x ，将区间[x, x + x]上的小曲边梯形的面积记为S ，并取 x i = ，于是就有S f (x)x 。然后令x → 0，这相当于对自变量作微 分，这样x 变成dx，S 变成dS ，于是上面的近似等式就变为微分形 式下的严格等式d ( )d S f x x = 。最后，把对小曲边梯形面积的近似值进 行相加，再取极限的过程视作对微分形式d ( )d S f x x = 在区间[a, b]上求 定积分，就得到 ( )d b a S f x x =
根据上面的理解,在解决实际问题时,我们可以简捷地按照以下 的步骤 自变量 科学 转为 直接 分割 x x+△x]-概 健>△S≈f(x△x-做ydS=f(x)dxS=[f(x)dx 来直接求解 了解了方法的实质以后,上述过程还可以进一步简化:即一开始 就将小区间形式地取为[x,x+dx](dx称为x的微元),然后根据实际 题得出微分形式dS=∫(x)dx(dS称为S的微元),再在区间[ab上求积 分。也就是 dx一→)dS=fx)dx>S=Jf(x)dx 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛,如§4中计算曲线的弧长、 几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出, 下面我们举一些其他类型的例子
根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下 的步骤 ⎯⎯⎯→[x, x + x]⎯ ⎯→S f (x)x 规律 科学 分割 自变量 d ( )d ( )d b a ⎯⎯⎯→ = ⎯⎯⎯→ = S f x x S f x x 转为 直接 微分 积分 来直接求解。 了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始 就将小区间形式地取为[ , d ] x x x + （dx称为x的微元），然后根据实际问 题得出微分形式d ( )d S f x x = （dS 称为S 的微元），再在区间[a,b]上求积 分。也就是 d d ( )d ( )d b a x S f x x S f x x ⎯⎯→ = ⎯⎯→ = 。 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如§4 中计算曲线的弧长、 几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出， 下面我们举一些其他类型的例子
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为1的直线段上分布着 某种物理量(如质量、热量、电荷量等等),将其平放在x轴的正半 轴上,使它的一头与原点重合,若它在x处的密度(称为线密度)可 由某个连续的分布函数o(x)表示(x∈[0,1]),由微元法,它在[x,x+dx 上的物理量dO为 do=p(x)dx, 对等式两边在[0,1上积分,就得到由分布函数求总量的公式 0=p(x)dx
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l 的直线段上分布着 某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x 轴的正半 轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x 处的密度（称为线密度）可 由某个连续的分布函数 ( ) x 表示( x [0,l ])，由微元法，它在[ , d ] x x x + 上的物理量dQ 为 d ( )d Q x x = ， 对等式两边在[0, l ]上积分，就得到由分布函数求总量的公式 0 ( )d l Q x x =
例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kgm) 求这根金属棒的质量M。 解 2x2+3x+6dx =23 图7.5.1 x+x2+6x=234(kg)
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 ( ) 2 3 6 (kg/m) 2 x = x + x + ， 求这根金属棒的质量M 。 解 6 2 0 M x x x = + + (2 3 6)d 6 234 (kg) 2 3 3 2 6 0 3 2 = = x + x + x 。 0 6 x 图 7.5.1