§3 Taylor公式和插值多项式 带 Peano余项的 Taylor公式 定理5.3.1(带Pean0余项的 Taylor公式)设f(x)在x处有n阶 导数,则存在xn的一个邻域,对于该邻域中的任一点x,成立 (x)=f(xo)+f()x-xo)+(xo) (x-x0)2+…+ (x0) (x-x0)”+rn(x) OI 其中余项r(x)满足 r(x)=0(x-x0 上述公式称为f(x)在x=x处的带 Peano:余项的 Taylor公式,它的 前n+1项组成的多项式 Pn(x)=f(x0)+f(x0(x-x0)+ f"(x0) (n) (x-x0) (x-x0) 2! 称为f(x)的n次 Taylor多项式,余项n(x)=o(x-x)称为 Peano余项
带Peano余项的Taylor公式 定理5.3. 1（带Peano余项的Taylor公式） 设 f (x)在 x 0 处有n阶 导数，则存在 x 0 的一个邻域，对于该邻域中的任一点 x ，成立 ( ) ( ), ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x r x n f x x x f x f x f x f x x x n n n − + + − + = + − + 其中余项r x n ( )满足 ( ) (( ) ) 0 n n r x = o x − x 上述公式称为 f (x)在x = x0处的带Peano余项的Taylor公式，它的 前n + 1项组成的多项式 p x n ( ) = n n x x n f x x x f x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 − + + − + − + 称为 f (x)的n次Taylor多项式，余项 ( ) (( ) ) 0 n n r x = o x − x 称为Peano余项。 §3 Taylor公式和插值多项式
证考虑;(x)=f(x)-∑f(xXx-x),只要证明 rn(x)=o(x-x0)")。显然 )=0 反复应用 L'Hospital法则,可得 lim n(x)=lm n(x) m x-0(x-xo) x-o n(x-xo) x*o n(n-D(x-xo) (n-1) (n)(x)-f(m(x0)-f((x0)x-x0) lim lim x0n(n-1)…2.(x-x0)川!x x-x f(n)(x)-f(n(x0) m r(x)=0rm(x)-f(x)=0 n! x-xo 因此 rn(x)=o(x-x0)”) 证毕
证 考虑rn (x) = f (x) − = − n k k k f x x x 0 k 0 0 ( ) ( )( ) ! 1 ，只要证明 ( ) (( ) ) 0 n n r x = o x − x 。显然 ( ) ( ) ( ) ( ) 0. 0 ( 1) 0 = 0 = 0 = = = − r x r x r x r x n n n n n 反复应用L’Hospital法则，可得 0 lim x→x n n x x r x ( ) ( ) − 0 = 0 lim x→x = − −1 0 ( ) ( ) n n n x x r x 0 lim x→x 2 0 ( 1)( ) ( ) − − − n n n n x x r x = … = 0 lim x→x ( 1) 2 ( ) ( ) 0 ( 1) n n x x r x n n − − − = ! 1 n 0 lim x→x − − − − − − 0 0 0 ( ) 0 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x x x n n n = ! 1 n 0 lim x→x = − − − − − ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 ( 1) ( 1) f x x x f x f x n n n ! 1 n ( ) − ( 0 ) = ( ) 0 ( ) f x f x n n 0. 因此 ( ) (( ) ) 0 n n r x = o x − x . 证毕
带 Lagrange余项的 Taylor公式 定理5.3.2(带 Lagrange余项的 Taylor公式)设f(x)在[a,b上具 有m阶连续导数,且在(ab)上有n+1阶导数。设xn∈,b]为一定点,则 对于任意x∈[,成立 f(x)=f(xo)+f(ro)(x-xo) f"(ro) (x-x0)2+…+ (x0) (x-xo)+.(x 其中余项r(x)满足 (n+1 (5) (x-x),5在x和x0之间 (n+1)! 上述公式称为f(x)在x=x处的带 Lagrange余项的 Taylor公式。余 项 (n+1) (x-x)y+1(在x和x0之间) (n+1) 称为 Lagrange余项
带Lagrange余项的Taylor公式 定理5.3.2（带Lagrange余项的Taylor公式） 设 f (x)在[a,b]上具 有n阶连续导数，且在(a,b)上有n+1阶导数。设 [ , ] x0 a b 为一定点，则 对于任意 xa,b，成立 ( ) ( )， ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x r x n f x x x f x f x f x f x x x n n n − + + − + = + − + 其中余项r x n ( )满足 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f r x x x n + + = − + ， 在x 和x 0 之间。 上述公式称为 f (x)在 x = x0处的带Lagrange余项的Taylor公式。余 项 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f r x x x n + + = − + （ 在x 和x 0 之间） 称为Lagrange余项
证考虑辅助函数 G()=f(x) 们f(((x-1)和H()=(x-0)H。 那么定理的结论(即需要证明的)就是 G(x0) () (n+1)! 不妨设x<x。则G()和H(t)在[x,x上连续,在(x2,x)上可导,且 (n+1) x-1)”,H(t)=-(n+1)(x-1) 显然H()在(x,x)上不等于零。因为G(x)=H(x)=0,由 Cauchy中值定 理可得 G(x)G(x)-G(x0)G"()f(m(2) ∈(xa,x) H(x0)H(x)-H(x0)H(5)(m+1)! 因此G(x)= H(x0) (n+1)! 证毕
证 考虑辅助函数 G(t) = f (x) − = − n k k k f t x t 0 k ( ) ( )( ) ! 1 和 1 ( ) ( ) + = − n H t x t 。 那么定理的结论(即需要证明的)就是 ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 ( 1) 0 H x n f G x n + = + 。 不妨设 x x 0 。则G(t) 和H (t) 在[ , ] 0 x x 上连续，在( , ) 0 x x 上可导，且 n n x t n f t G t ( ) ! ( ) ( ) ( 1) = − − + ， n H(t) = −(n +1)(x − t) 。 显然H (t) 在( , ) 0 x x 上不等于零。因为G(x) = H(x) = 0，由Cauchy中值定 理可得 ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 0 0 0 0 + = = − − = + n f H G H x H x G x G x H x G x n ， ( , ) 0 x x ， 因此 ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 ( 1) 0 H x n f G x n + = + 。 证毕
特别地,当n=0时,定理5.3.2成为 f(x)=f(x)+f(5x-x0),5在x和x之间, 这恰为 Lagrange中值定理的结果。所以,带 Lagrange余项的 Taylor公式 可以看成是 Lagrange中值定理的推广。 当x→x时,带 Lagrange余项的 Taylor公式蕴涵了带 Peano余项的 Taylor公式。但采用带 Peano余项的 Taylor公式时,对f(x)的要求比采 用带 Lagrange余项的 Taylor公式时稍弱一些
特别地，当 n = 0 时，定理5.3.2成为 0 0 f x f x f x x ( ) ( ) ( )( ) = + − ， 在 x 和 x 0 之间， 这恰为Lagrange中值定理的结果。所以，带Lagrange余项的Taylor公式 可以看成是Lagrange中值定理的推广。 当 x → x0时，带Lagrange余项的Taylor公式蕴涵了带Peano余项的 Taylor公式。但采用带Peano余项的Taylor公式时，对 f (x)的要求比采 用带Lagrange余项的Taylor公式时稍弱一些