§2换元积分法和分部积分法 换元积分法 换元积分法可以分成两种类型: (1)第一类换元积分法 在不定积分∫(x)x中,若f(x)可以通过等价变形化成 f(g(x)g(x),而函数f()的原函数F(u)是容易求的 因为[F(g(x)=F(g(x)g(x)=f(g(x)g(x)=f(x),可知 f(x)dx=F(g(x)+C
换元积分法 换元积分法可以分成两种类型： ⑴ 第一类换元积分法 在不定积分 f x x ( ) d 中，若 f (x)可以通过等价变形化成 ~ f (g(x))g(x)，而函数 ~ f (u)的原函数 ~ F(u)是容易求的。 因为 ( ( )) ( ) ~ ( ( ))] ~ [F g x = F g x g x = ( ( )) ( ) ~ f g x g x = f (x)，可知 f x x ( ) d = F(g(x)) + C ~ 。 §2 换元积分法和分部积分法
在运算时,可采用下述步骤:用u=g(x)对原式作变量代换,这时 相应地有dn=g(x)dx,于是, ∫f(x)dx=jf(g(x)(xx=∫7(g(x)g(x) ∫f(a)d=F(a)+C=F(g(x)+C。 这个方法称为第一类换元积分法。由于在将f(x)dx化成 f(g(x)g(x)dx=f(g(x)dg(x)的过程中往往要采取适当地“凑”的办法, 它也被俗称为“凑微分法
在运算时，可采用下述步骤：用 u = g(x) 对原式作变量代换，这时 相应地有d d u g x x = ( ) ，于是， f x x ( ) d = f g x g x x ( ( )) ) ( d = ( f g x g x ( ( )) ) d = = f u u ( ) d F(u) + C = ~ ~ F(g(x)) + C 。 这个方法称为第一类换元积分法。由于在将 f x x ( )d 化成 f g x g x x ( ( )) ) ( = d f g x g x ( ( )) ) d ( 的过程中往往要采取适当地“凑”的办法， 它也被俗称为“凑微分法
例62.1求∫ 解将(x)=xa看成是/()=和n=x=a的复合函数,因为 d(x-a)=dx,所以 dr rd(x-a) (作变量代换u=x-a) X-a au InJu+C 用u=x-a代回) =ln|x-a|+C
例 6.2.1 求 x x a − d 。 解 将 f x x a ( ) = − 1 看成是 ~ f (u) u = 1 和u = x − a的复合函数，因为 d d ( ) x a x − = ，所以 x x a ( ) x a x a − = − − d d （作变量代换u = x − a） u u = d = ln |u|+ C （用u = x − a代回） = ln| x − a|+ C
例62.1求∫ 解将(x)=xa看成是/()=和n=x=a的复合函数,因为 d(x-a)=dx,所以 dr rd(x-a) (作变量代换u=x-a) X-a au InJu+C 用u=x-a代回) =ln|x-a|+C。 同理可以求出 +C n>1) (x-a)n-1(x-a) 和 dx ax +C 2aJx-a Jx+a 2a x+a
同理可以求出 1 1 1 ( ) 1 ( ) n n x C x a n x a − = − + − − − d （ n 1） 和 2 2 x x a − d 1 2 x x a x a x a = − − + d d C x a x a a + + − = ln 2 1 。 例 6.2.1 求 x x a − d 。 解 将 f x x a ( ) = − 1 看成是 ~ f (u) u = 1 和u = x − a的复合函数，因为 d d ( ) x a x − = ，所以 x x a ( ) x a x a − = − − d d （作变量代换u = x − a） u u = d = ln |u|+ C （用u = x − a代回） = ln| x − a|+ C
例622求∫ x+a 解∫ (作变量代换u=-) x+a +(2)2a1+()2 =-arc tanu +c (用=代回) a1+u arc tan -+0 同理可以求出 x arc sin -+C
例 6.2.2 求 2 2 x x a + d 。 解 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) x a x x a a x x x a a a = = + + + d d d （作变量代换 u x a = ） 2 1 1 u a u = + d u C a = arc tan + 1 （用u x a = 代回） C a x a = arc tan + 1 。 同理可以求出 2 2 x a x − d = arc sin + x a C