§4复合函数求导法则及其应用 复合函数求导法则 定理4.4.1(复合函数求导法则)设函数u=g(x)在x=x0可导, 函数y=f()在u==g(x)处可导,则复合函数y=f(g(x)在x=x0可 导,且有 If(g(xD=f(uo)g(o)=f (g(o))g(xo) 证因为y=f(l)在处可导,所以可微。由可微的定义,对任 意一个充分小的△≠0,都有 (4+△a)-f(4)=f(b)△a+ 其中lma=0。 因为当△u=0时Δy=0,不妨规定当M=0时a=0,因此上式对 △=0也成立
复合函数求导法则 定理4.4.1 (复合函数求导法则) 设函数u = g(x)在 x = x0 可导， 函数 y = f (u)在u = u = g x 0 0 ( )处可导,则复合函数 y = f (g(x)) 在 x = x0 可 导，且有 [ f (g x))] f (u )g x ) x x ( = ( = 0 0 0 = f (g(x ))g(x ) 0 0 。 证 因为 y = f (u)在u0 处可导，所以可微。由可微的定义，对任 意一个充分小的u 0，都有 0 0 0 f u u f u f u u u ( ) ( ) ( ) + − = + ， 其中 0 lim u→ = 0。 因为当u = 0时y = 0，不妨规定当u = 0时 = 0，因此上式对 u = 0也成立。 §4 复合函数求导法则及其应用
设M=g(x0+Ax)-g(x0)(Ax≠0),在上式两边同时除以Ax,则有 f(g(x0+△x)-f(g(x0) △ △L f(a6)-+ △x △l 由函数n=8x)在x=x可导,即有4=8(x),且此式也蕴含 了lim△=0。注意到在△x→0的过程中,或者有Δ=0,这时有a=0; Ax→0 或者有M≠0,但△趋于0,因此由lima=0,可知lima=0 Ax→0 于是令Ax→>0,得到 lim /(g(o+ Ax))-/(g(xo △x △ △Ll =flu lim+lim a lim =f(l0)g(x) △x→0△xAx→0△x→>0△ 证毕
设 = ( ) ( ) 0 0 u g x + x − g x ( 0) x ，在上式两边同时除以x ，则有 0 0 0 ( ( )) ( ( )) ( ) f g x x f g x u u f u x x x + − = + 。 由函数u = g(x)在 x = x0可导，即有 0 0 lim ( ) x u g x → x = ，且此式也蕴含 了 0 lim 0 x u → = 。注意到在x → 0的过程中，或者有u = 0，这时有 = 0； 或者有 u 0，但u 趋于0，因此由 0 lim 0 u → = ，可知 0 lim 0 x → = 。 于是令x → 0，得到 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( )) ( ( )) lim ( ) lim lim lim ( ) ( ) x x x x y f g x x f g x x x u u f u f u g x x x → → → → + − = = + = d d 。 证毕
复合函数的求导规则可以写成(称为链式法则) dy dy du dx du dx 复合函数的微分公式可以写成 dlf(g(x))]=f(u)g(x)dx
复合函数的求导规则可以写成（称为链式法则） d d d d d d y y u x u x = 。 复合函数的微分公式可以写成 d[ ( ))] ( ) )d f g x f u g x x ( = (
例4.4.1求幂函数y=x2(x>0)的导函数。 解把y=x°=e看成是由 e u=alex 复合而成的函数,则由链式法则 )′=(e).(alnx)’=(e u=a Inx
例4.4.1 求幂函数 ( 0) a y x x = 的导函数。 解 把 y x a a x = = e ln 看成是由 y u a x u = = e , ln 复合而成的函数，则由链式法则 (x ) a = (e ) ( ln ) u a x x a x x a a u a x u = = = ln (e ) = − ax a 1
例4.4.1求幂函数y=x2(x>0)的导函数。 解把y=x°=e看成是由 e u=alex 复合而成的函数,则由链式法则 )′=(e).(alnx)’=(e u=a Inx 例4.4.2求y=ex的导函数。 解把y=e看成是由 u=cOS x 复合而成的函数,则由链式法则 (e osx )=(e").(cos x)'=(e") (sin x) SInx o u=cOSx
例4.4.2 求 y x = e cos 的导函数。 解 把 y x = e cos 看成是由 = = u x y u cos e , 复合而成的函数，则由链式法则 cos cos cos (e ) (e ) (cos ) (e ) ( sin ) e sin x u u x u x y x x x = = = = − = − 。 例4.4.1 求幂函数 ( 0) a y x x = 的导函数。 解 把 y x a a x = = e ln 看成是由 y u a x u = = e , ln 复合而成的函数，则由链式法则 (x ) a = (e ) ( ln ) u a x x a x x a a u a x u = = = ln (e ) = − ax a 1