§6定积分的数值计算 数值积分 对于求定积分,虽然有了 Newton- Leibniz公式,但在整个可积函 数类中,能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分,也就是说, 对绝大部分在理论上可积的函数,并不能用 Newton- Leibniz公式求得 其定积分之值。 另一方面,在实际问题中,许多函数只是通过测量、试验等方法 给出了在若干个离散点上的函数值,如果问题的最后解决有赖于求出 这个函数在某个区间上的积分值,那么 Newton- Leibniz公式是难有用 武之地的。 所以需要寻找求定积分的各种近似方法,数值积分是其中最重要 的一种
数值积分 对于求定积分，虽然有了 Newton-Leibniz 公式，但在整个可积函 数类中，能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分，也就是说， 对绝大部分在理论上可积的函数，并不能用 Newton-Leibniz 公式求得 其定积分之值。 另一方面，在实际问题中，许多函数只是通过测量、试验等方法 给出了在若干个离散点上的函数值，如果问题的最后解决有赖于求出 这个函数在某个区间上的积分值，那么 Newton-Leibniz 公式是难有用 武之地的。 所以需要寻找求定积分的各种近似方法，数值积分是其中最重要 的一种。 §6 定积分的数值计算
从数值计算的观点来看,若能在{a,b上找到一个具有足够精度的 替代f(x)的可积函数p(x),而p(x)的原函数可以用初等函数P(x)表示, 比如,p(x)为f(x)的某个插值多项式,那么便可用p(x)的积分值近似 地代替∫(x)的积分值,即 ∫f(x)dx≈」Jp(xx=P(x) 此外,从定积分的几何意义知道,将积分区间分得越细,小块近 似面积之和与总面积就越是接近。因此,用简单函数替代被积函数, 并将积分区间细化是数值积分的主要思想
从数值计算的观点来看，若能在 [a, b] 上找到一个具有足够精度的 替代 f (x)的可积函数 p(x)，而 p(x)的原函数可以用初等函数P(x)表示， 比如， p(x)为 f (x)的某个插值多项式，那么便可用 p(x) 的积分值近似 地代替 f (x)的积分值，即( )d b a f x x ( )d b a p x x b a = P(x) 。 此外，从定积分的几何意义知道，将积分区间分得越细，小块近 似面积之和与总面积就越是接近。因此，用简单函数替代被积函数， 并将积分区间细化是数值积分的主要思想
Newton- Cotes求积公式 这是一个取等距结点的数值积分公式。 将积分区间[a,b以步长h=“分成n等份,以分点 a+i(i=012 为结点作f(x)的 Lagrange插值多项式 (x)=P(x)=∑∏ f(x,)
Newton-Cotes 求积公式 这是一个取等距结点的数值积分公式。 将积分区间[a, b]以步长h b a n = − 分成n等份，以分点 xi = a + ih （ i = 0,1,2, ,n −1,n） 为结点作 f (x)的 Lagrange 插值多项式 f (x) ( ) ( ) 0 0 i n i n j i j i j j n f x x x x x p x = = − − =
对等式两边在[a,b上积分,便有 ∫f(x)dx≈」Jpx)dx=(b-a)∑C"fx) 这里, (n) -dx 令x=a+h) x- h d t 1(-1)" b nl!(n-1) ∏I(-j) 这就是n步 Newton- Cotes求积公式,计算时需取n+1个结点,相应的 Cm称为 Cotes系数,它与积分区间和被积函数无关,可通过求多项式 的积分事先算好
对等式两边在[a, b]上积分，便有 ( )d b a f x x ( )d b n a p x x = − = ( ) ( ) ( ) b a C f x i n i n i 0 . 这里， ( ) 0 1 d n b n j i a j i j j i x x C x b a x x = − = − − （令x = a + th） 0 0 d n n j j i h t j t b a i j = − = − − 0 0 1 ( 1) ( )d !( )! n i n n j j i t j t n i n i − = − = − − 。 这就是n步 Newton-Cotes 求积公式，计算时需取n + 1个结点，相应的 Ci (n)称为 Cotes 系数，它与积分区间和被积函数无关，可通过求多项式 的积分事先算好
Cotes系数具有如下性质: 1.对称性。可从C的表达式直接算出 (n) i=0,1,2,…,n-1,n 2.规范性。由于 Newton- Cotes公式对∫(x)≡1是精确成立的, 因此 1dx=(b-a)∑Cn ∑C"=1
Cotes 系数具有如下性质： 1. 对称性。可从 Ci (n)的表达式直接算出 Ci (n) = Cn−i ( n)， i = 0, 1, 2, , n −1, n. 2. 规范性。 由于 Newton-Cotes 公式对 f (x) 1是精确成立的， 因此 1 d b a x = − = ( ) ( ) b a Ci n i n 0 ， 即 Ci n i n ( ) = = 0 1