§5应用举例 本节介绍函数微分的一些应用,包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用 极值问题 f(x)的全部极值点必定都在使得∫(x)=0和使得f(x)不存在的 点集之中。使f(x)=0的点称为f(x)的驻点
本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用。 极值问题 f (x)的全部极值点必定都在使得 f (x) = 0和使得 f (x)不存在的 点集之中。使 f (x) = 0的点称为 f (x)的驻点。 §5 应用举例
定理5.5.1(极值点判定定理)设函数f(x)在x0点的某一邻域中 有定义,且f(x)在x0点连续。 (1)设存在δ>0,使得f(x)在(x0-6,x)与(xn,x0+)上可导, (i)若在(x0-δ,x)上有∫(x)≥0,在(x,x+δ)上有f(x)≤0,则 x是f(x)的极大值点; (ii)若在(x-6,x)上有f(x)≤0,在(x0,x+δ)上有f(x)≥0, 则x。是f(x)的极小值点 (i)若f(x)在(xo-o,x)与(x0,x+)上同号,则x0不是f(x)的 极值点
定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 f (x) 在 x 0 点的某一邻域中 有定义，且 f (x)在 x 0 点连续。 ⑴ 设存在 0，使得 f (x)在( , ) 0 0 x − x 与( , ) x0 x0 + 上可导， (i) 若在( , ) 0 0 x − x 上有 f (x) 0，在( , ) x0 x0 + 上有 f (x) 0，则 x 0 是 f (x)的极大值点； (ii) 若在( , ) 0 0 x − x 上有 f (x) 0，在( , ) x0 x0 + 上有 f (x) 0， 则 x 0 是 f (x)的极小值点； (iii) 若 f (x)在( , ) 0 0 x − x 与( , ) x0 x0 + 上同号，则 x 0 不是 f (x) 的 极值点
定理5.5.1(极值点判定定理)设函数f(x)在x0点的某一邻域中 有定义,且f(x)在x0点连续。 (1)设存在δ>0,使得f(x)在(x0-6,x)与(xn,x0+)上可导, (i)若在(x0-δ,x)上有∫(x)≥0,在(x,x+δ)上有f(x)≤0,则 x是f(x)的极大值点; (ii)若在(x-6,x)上有f(x)≤0,在(x0,x+δ)上有f(x)≥0, 则x。是f(x)的极小值点 (i)若f(x)在(xo-o,x)与(x0,x+)上同号,则x0不是f(x)的 极值点 2)设f(x)=0,且f(x)在x0点二阶可导, (i)若f"(x)<0,则x是f(x)的极大值点; (i)若f"(x)>0,则x0是f(x)的极小值点; (i)若∫"(x)=0,则x0可能是f(x)的极值点,也可能不是f(x) 的极值点
⑵ 设 f (x0 ) = 0 ，且 f (x) 在 x 0 点二阶可导， (i) 若 f (x0 ) 0，则 x 0 是 f (x)的极大值点； (ii) 若 f (x0 ) 0，则x 0 是 f (x)的极小值点； (iii) 若 f (x0 ) = 0，则x 0 可能是 f (x)的极值点，也可能不是 f (x) 的极值点。 定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 f (x) 在 x 0 点的某一邻域中 有定义，且 f (x)在 x 0 点连续。 ⑴ 设存在 0，使得 f (x)在( , ) 0 0 x − x 与( , ) x0 x0 + 上可导， (i) 若在( , ) 0 0 x − x 上有 f (x) 0，在( , ) x0 x0 + 上有 f (x) 0，则 x 0 是 f (x)的极大值点； (ii) 若在( , ) 0 0 x − x 上有 f (x) 0，在( , ) x0 x0 + 上有 f (x) 0， 则 x 0 是 f (x)的极小值点； (iii) 若 f (x)在( , ) 0 0 x − x 与( , ) x0 x0 + 上同号，则 x 0 不是 f (x) 的 极值点
证(1)的结论显然,我们只证(2) 因为f(x)=0,由 Taylor公式 f(x)=f(x)+f(x0)(x-x)+ (x-xo)+o((x-xo 2! =f(x0)+ f(0(x=x)2+o(x-x0) 得到 f(x)-f(x)_1 f∫"(x0)+ o(x-x0)2 (x-x0)2 因为当x→x时上式右侧第二项趋于0,所以当∫(x)<0时,由极限的 性质可知在x。点附近成立 0 X-x 所以 f(x)<f(x0), 从而f(x)在x取极大值。同样可讨论∫(x)>0的情况 证毕
证 (1)的结论显然，我们只证(2)。 因为 0 f x ( ) 0 = ，由 Taylor 公式 f (x) = f (x0 ) + f ( 0 x ) 2! ( ) ( ) 0 0 f x x x − + − + 2 0 (x x ) (( ) ) 2 0 o x − x = f (x0 ) + 2! ( ) 0 f x − + 2 0 (x x ) (( ) ) 2 0 o x − x 得到 0 2 0 ( ) ( ) ( ) f x f x x x − = − 2 0 2 0 0 ( ) (( ) ) ( ) 2! 1 x x o x x f x − − + 。 因为当 0 x → x 时上式右侧第二项趋于 0，所以当 f (x0 ) 0时，由极限的 性质可知在 0 x 点附近成立 0 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − − x x f x f x , 所以 ( ) ( ) 0 f x f x ， 从而 f (x)在 0 x 取极大值。同样可讨论 f (x0 ) 0的情况。 证毕
关于定理55.1中(2)(ii),可分别考察函数y=x,y=-x4和 y=x3。x=0是y=x4的极小值点,是y=-x4的极大值点,而不是y=x3 的极值点。但它们都满足y(0)=0和y0)=0的条件
关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 4 y = x , 4 y = −x 和 3 y = x 。x = 0是 4 y = x 的极小值点，是 4 y = −x 的极大值点，而不是 3 y = x 的极值点。但它们都满足 y (0) = 0和 y (0) = 0的条件