第四章微分 §1徼分和导数 微分的定义 设y=f(x)是一个给定的函数, 在点x附近有定义。若(x)在x处的(+△ 自变量产生了某个增量Ax变成了 f(x) x+Δx(增量Ax可正可负,但不为 零),那么它的函数值也相应地产 xx+△x 生了一个增量 图4.1.2 △y(x)=f(x+△x)-f(x), 在不会发生混淆的场合,或者是无需特别指明自变量的时候,一般就 将Ay(x)简单地记为Ay
微分的定义 设 y = f (x)是一个给定的函数， 在点x 附近有定义。若 f (x)在x 处的 自变量产生了某个增量x 变成了 x + x （增量x 可正可负，但不为 零），那么它的函数值也相应地产 生了一个增量 y(x) = f (x + x) − f (x)， 在不会发生混淆的场合，或者是无需特别指明自变量的时候，一般就 将y(x)简单地记为y 。 第四章 微 分 §1 微分和导数
定义4.1.1对函数y=f(x)定义域中的一点x,若存在一个只与 x有关,而与△x无关的数g(x),使得当Ax→0时恒成立关系式 △y=g(x0)Ax+O(△x), 则称f(x)在x处的微分存在,或称f(x)在x0处可微。 若函数y=f(x)在某一区间上的每一点都可微,则称f(x)在该区间 上可微
定义4.1.1 对函数 y = f (x) 定义域中的一点 0 x ，若存在一个只与 0 x 有关，而与x 无关的数 ( ) 0 g x ，使得当x → 0时恒成立关系式 0 = + y g x x o x ( ) ( )， 则称 f (x)在 0 x 处的微分存在，或称 f (x)在 0 x 处可微。 若函数 y = f (x)在某一区间上的每一点都可微，则称 f (x)在该区间 上可微
由定义可知,若f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时△y也是无 穷小量,且当g(x)≠0时,成立等价关系 y~g(x)△x “g(x)Ax”这一项也被称为Ay的线性主要部分 当∫(x)在x处可微且Ax→>0时,将Ax称为自变量的微分,记作dx, 而将Δy的线性主要部分g(x)dx(即g(x)Ax)称为因变量的微分,记作d 或刂(x),于是就有以下的微分关系式 d y=g
由定义可知，若 f (x) 在 x 处是可微的，那么当 x → 0 时 y 也是无 穷小量，且当 g(x) 0时，成立等价关系 y ~ g(x)x。 “ g(x)x ”这一项也被称为y 的线性主要部分。 当 f (x)在 x 处可微且x → 0时，将x 称为自变量的微分，记作dx， 而将y 的线性主要部分 g x x ( )d （即 g(x)x ）称为因变量的微分，记作dy 或 df x( )，于是就有以下的微分关系式 d d y g x x = ( )
由定义可知,若f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时△y也是无 穷小量,且当g(x)≠0时,成立等价关系 y~g(x)△x “g(x)Ax”这一项也被称为Ay的线性主要部分 当∫(x)在x处可微且Ax→>0时,将Ax称为自变量的微分,记作dx, 而将Δy的线性主要部分g(x)dx(即g(x)Ax)称为因变量的微分,记作d 或刂(x),于是就有以下的微分关系式 d y=g 例4.1.1设y=f(x)=x2,对于在任意一点x∈(-+∞)处所产生的 增量Δx,有 y=(x+△x)2-x2=2xAx+△x2 由定义,函数y=x2在x处是可微的,它的微分为 dy=d(x)=2xdx
例4.1.1 设 2 y = f (x) = x ，对于在任意一点 x (−,+ ) 处所产生的 增量x ，有 2 2 2 = + − = + y x x x x x x ( ) 2 由定义，函数 y = x 2 在 x 处是可微的，它的微分为 2 d d d y x x x = = ( ) 2 。 由定义可知，若 f (x) 在 x 处是可微的，那么当 x → 0 时 y 也是无 穷小量，且当 g(x) 0时，成立等价关系 y ~ g(x)x。 “ g(x)x ”这一项也被称为y 的线性主要部分。 当 f (x)在 x 处可微且x → 0时，将x 称为自变量的微分，记作dx， 而将y 的线性主要部分 g x x ( )d （即 g(x)x ）称为因变量的微分，记作dy 或 df x( )，于是就有以下的微分关系式 d d y g x x = ( )
例41.2设y=f(x)=Vx2,在x=0处,有 f(△x)-f(0)=V 当Ax→0时,√△x2趋于0的阶比Ax的阶低,因而y不可能表示成Ax 的线性项与高阶项的和。由定义,函数y=x2在x=0处是不可微的 函数y=x2虽然不是(-0+∞)上的可微函数,但它在(,0)和 (0+∞)上却都是可微的
例4.1.2 设 y = f (x) = x 3 2 ，在 x = 0 处，有 y = f (x) − f (0) = 3 x 2 ， 当x → 0时， x 3 2 趋于0的阶比x 的阶低， 因而y 不可能表示成x 的线性项与高阶项的和。由定义，函数 3 2 y = x 在x = 0处是不可微的。 函数 y = x 3 2 虽然不是(−,+ )上的可微函数，但它在(−, 0)和 (0,+ )上却都是可微的