由此可以想到,如果在每个小区间[x1x上任意取点5,∈[x1x], 并构造以h为底、以f()=2为高的小矩形,则所有这些小矩形的面 积之和为∑5;2,显然仍然有 Ss∑5≤Sn, 令n→0,由极限的夹通性,得到mn52=3,就是所求的曲边三 角形的面积。 y-f(xr) f(5
由此可以想到，如果在每个小区间 [ , ] i 1 i x x − 上任意取点 i [ , ] i 1 i x x − ， 并构造以h为底、以 2 ( ) i i f = 为高的小矩形，则所有这些小矩形的面 积之和为 = n i i n 1 1 2 ，显然仍然有 = n n i n i S n S 1 1 2 ， 令n →，由极限的夹逼性，得到 3 1 1 lim 1 2 = = → n i i n n ，就是所求的曲边三 角形的面积。 y=f(x) f i ( ) 0 xi-1 xi 1 x y
利用上述思想,我们来求由连续曲线y=f(x)(假设f(x)>0), 直线x=a,x=b和x轴围成的曲边梯形的面积(图7.1.3): 在[a,b中取一系列的分点x,作成一种划分 P:a=x<x1<x2<…<x,=b 记小区间[x1,x]的长度为 x 并在每个小区间上任意取一点ξ,用底为Ax,高为f(5)的矩形面积近 似代替小的曲边梯形的面积。 f(2;) 图71.3
利用上述思想，我们来求由连续曲线 y = f (x) （假设 f (x) 0 ）， 直线 x = a ， x = b和 x 轴围成的曲边梯形的面积（图7.1.3）： 在[a, b]中取一系列的分点 xi，作成一种划分 P：a = x0 x1 x2 xn = b， 记小区间[x , x ] i−1 i 的长度为 x x x i = i − i−1， 并在每个小区间上任意取一点i ，用底为 xi，高为 ( ) i f 的矩形面积近 似代替小的曲边梯形的面积。 图7.1.3 xi i y=f(x) f i ( ) 0 a xi-1 xi b x y
那么这些小矩形面积之和 ∑f(5,)x 就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令A=mx(Ax,),当→0时,若 极限 im∑f(5)x 存在,那么这个极限显然就是 所要求的曲边梯形的精确面积。 X) f(2;)
那么这些小矩形面积之和 = n i i i f x 1 ( ) 就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令 max( ) 1 i i n = x ,当 →0 时，若 极限 = → n i i i f x 1 0 lim ( ) 存在，那么这个极限显然就是 所要求的曲边梯形的精确面积。 xi i y=f(x) f i ( ) 0 a xi-1 xi b x y
在许多其他领域的研究中,也大量地遇到诸如此类的和式的极限 问题。比如,求一个以速度v()做变速运动的物体从时间t=7到时间 t=所走过的路程S,可以先在时间段[,2中取一系列的分点t, 作成划分 p.T tn=72 并在每个小区间[,上随意取一点,只要时间间隔 充分小,v(5)就可以近似地看作是在[t1,时间段中的平均速度,因 此在这段时间中走过的路程近似地等于v(ξ,)M,于是整个路程就近似 等于 ∑v(5,)△I 若当λ=max()→0时,极限 imn∑v(5,)A 存在,那么这个极限就是所要求的路程S的精确值
在许多其他领域的研究中，也大量地遇到诸如此类的和式的极限 问题。比如，求一个以速度v(t)做变速运动的物体从时间t = T1到时间 t = T2所走过的路程S ，可以先在时间段[T , T ] 1 2 中取一系列的分点t i ， 作成划分 P：T1 = t 0 t 1 t 2 t n = T2， 并在每个小区间[t , t ] i−1 i 上随意取一点 i ，只要时间间隔 t t t i = i − i−1 充分小， ( ) i v 就可以近似地看作是在[t , t ] i−1 i 时间段中的平均速度，因 此在这段时间中走过的路程近似地等于v t i i ( ) ，于是整个路程就近似 等于 = n i i i v t 1 ( ) 。 若当 = → max( ) 1 0 i n i t 时, 极限 = → n i i i v t 1 0 lim ( ) 存在，那么这个极限就是所要求的路程S 的精确值
定积分的定义 定义7.1.1设f(x)是定义于[ab上的有界函数,在{a,b上任意 取分点{x,}0,作成一种划分 P e a=xo<x,<x b 并任意取点∈[x1,x]。记小区间[x,x的长度为Ax,=x1-x21,并令 λ=max(Ax,),若当λ→>0时,极限 m∑f(5 存在,且极限值既与划分P无关,又与对的取法无关,则称f(x)在 a,b]上 Riemann可积。和式 ∑f(5)x 称为 Rieman和,其极限值称为f(x)在[a,b上的定积分,记为 f(x)d 这里a和b分别被称为积分的下限和上限
定积分的定义 定义7.1.1 设 f (x)是定义于[a, b]上的有界函数，在[a, b]上任意 取分点{x }i i n =0 ，作成一种划分 P： a = x0 x1 x2 xn = b， 并任意取点 i [x , x ] i−1 i 。记小区间[x , x ] i−1 i 的长度为x x x i = i − i−1，并令 = max( ) 1 i n i x ，若当 →0时，极限= → n i i i f x 1 0 lim ( ) 存在，且极限值既与划分P无关，又与对 i 的取法无关，则称 f (x)在 [a, b]上Riemann可积。和式 1 ( ) n i i i f x = 称为Riemann和，其极限值 I 称为 f (x)在[a, b]上的定积分，记为 I ＝ ( ) b a f x x d ， 这里a 和b 分别被称为积分的下限和上限