§3导数四则运算和反函数求导法则 从定义出发求导函数 一些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数: 常数函数y=C的导数恒等于零。 例4.3.1求y=sinx的导函数。 解m(x+△x)-snx=2cosx+ △ SIn ,由cosx的连续性与 △x△x (Ax→0),可知 22 sIn lim sin(x+Ax)-sin x =im cos/r+r lim cOSx, Ax→0 2)△x→0△x 根据定义,即得 (sin x)=cos x
从定义出发求导函数 一些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数： 常数函数 y = C的导数恒等于零。 例4.3.1 求 y = sin x的导函数。 解 2 sin 2 sin( ) sin 2cos x x x x x x + − = + ，由cos x的连续性与 ( 0) 2 ~ 2 sin → x x x ，可知 0 sin( ) sin lim x x x x → x + − 2 2 sin lim 2 lim cos 0 0 x x x x x x = + → → =cos x， 根据定义，即得 (sin x) = cos x。 §3 导数四则运算和反函数求导法则
例4.3.2求y=lnx的导函数。 解n(x+Ax)-hx=h x+△x =ln1+ 由h Ax)△x -(Ax→>0),可知 △x In 1+ lim ln(x+△x)-nx =-lim ↑x→0 x4x→0 根据定义,即有 (n x)
例4.3.2 求 y = ln x 的导函数。 解 = + + + − = x x x x x ln( x x) ln x ln ln 1 , 由ln 1 ~ ( → 0) + x x x x x ，可知 0 0 ln 1 ln( ) ln 1 1 lim lim x x x x x x x x x x x x → → + + − = = ， 根据定义，即有 (ln x) x = 1
例4.3.3求y=e的导函数。 解利用等价关系式e-1~△x(4x→0),可得 e lim lim Ax→0△x 即有 进一步,利用等价关系a-1~Axha(a>0,a≠1),可得 (a'=(n a ) a
例4.3.3 求 x y = e 的导函数。 解 利用等价关系式 e 1~ ( 0) x x x − → ，可得 0 0 e e e 1 lim e lim e x x x x x x x x x x + → → − − = = ， 即有 (e ) e x x = 。 进一步，利用等价关系 −1 ~ ln ( 0, 1) a x a a a x ，可得 (a ) (ln a)a x x =
例4.3.3求y=e的导函数。 解利用等价关系式e-1~△x(4x→0),可得 e lim lim Ax→0△x Ax→0 即有 进一步,利用等价关系a-1~Axha(a>0,a≠1),可得 (a'=(n a ) a 注意:y=e的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数 函数和对数函数时经常将底数取成e的缘故。以后会知道,若一个函 数的导函数等于它本身,那么这个函数与y=e至多相差一个常数因 子,即它必为 Ce 的形式
注意： y x = e 的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数 函数和对数函数时经常将底数取成e的缘故。以后会知道，若一个函 数的导函数等于它本身，那么这个函数与 y x = e 至多相差一个常数因 子，即它必为 y C x = e 的形式。 例4.3.3 求 x y = e 的导函数。 解 利用等价关系式 e 1~ ( 0) x x x − → ，可得 0 0 e e e 1 lim e lim e x x x x x x x x x x + → → − − = = ， 即有 (e ) e x x = 。 进一步，利用等价关系 −1 ~ ln ( 0, 1) a x a a a x ，可得 (a ) (ln a)a x x =
例4.3.4求幂函数y=x2(x>0)的导函数,其中a为任意实数。 解利用等价关系1+x1-1-N(Ax→0,有 x △x x|1+ im(x+△r)y2-x2 m Ax->0 △ =x lim 于是得到 (x)=ax
例4.3.4 求幂函数 y x a = ( x 0 )的导函数,其中a为任意实数。 解 利用等价关系 x a x x x a − 1+ 1 ~ (x →0),有 , 1 1 lim 1 1 lim ( ) lim 1 0 1 0 0 − → − → → = − + = − + = + − a a x a a a x a a x ax x x x x x x x x x x x x x x x 于是得到 (x ) ax a a = −1