第六章不定积分 s1不定积分的概念和运算法则 微分的逆运算 不定积分 定义6.1.若在某个区间上,函数F(x)和f(x)成立关系 F'(x)=f(x), 或等价地, d(F(x))=f(x)dx 则称F(x)是f(x)在这个区间上的一个原函数
微分的逆运算 ── 不定积分 定义6.1.1 若在某个区间上，函数F(x)和 f (x)成立关系 F(x) = f (x)， 或等价地， d d ( ( )) ( ) F x f x x = ， 则称 F(x)是 f (x)在这个区间上的一个原函数。 第六章 不定积分 §1 不定积分的概念和运算法则
注意,如果一个函数存在原函数,那么它的原函数必定是不唯 的。比如,若F(x)是f(x)的原函数,那么对任何常数C,F(x)+C也是 f(x)的原函数 反之,若G(x)是f(x)的任一个原函数,则[F(x)-G(x)=0。于是 F(x)-G(x)=C,即G(x)=F(x)+C。 所以,只要求出了f(x)的任意一个原函数F(x),就可以用F(x)+C 来代表∫(x)的原函数全体了
注意，如果一个函数存在原函数，那么它的原函数必定是不唯一 的。比如，若F(x)是 f (x)的原函数，那么对任何常数 C ，F(x) + C 也是 f (x)的原函数。 反之，若G(x)是 f (x)的任一个原函数，则[F(x) − G(x)] = 0。于是 F(x) − G(x) C，即G(x) = F(x) + C 。 所以，只要求出了 f (x)的任意一个原函数 F(x)，就可以用 F(x) + C 来代表 f (x)的原函数全体了
定义6.1.2一个函数f(x)的原函数全体称为这个函数的不定积 分,记作∫f(x)x 这里,“∫”称为积分号,f(x)称为被积函数,x称为积分变量 微分运算“d”与不定积分运算“∫”构成了一对逆运算: F(x) f(x)dx, F(x)+C〈 或者具体写成 4((x)-)=/(x)x(即:(J八(x)x)=f(x) 与 dF(x)=F(x)+C
定义6.1.2 一个函数 f (x)的原函数全体称为这个函数的不定积 分，记作 f x x ( )d 。 这里，“ ”称为积分号， f (x)称为被积函数，x 称为积分变量。 微分运算“d ”与不定积分运算“ ”构成了一对逆运算： ( ) ( ) ( ) F x f x x F x C ⎯⎯→ + ⎯⎯ d d ， 或者具体写成( f x x f x x ( ) ( ) ) = d d d （ 即 ( f x x f x ( ) ( ) ) x = d d d ） 与 F x F x C ( ) ( ) = + d
例6.1.1求∫ Sin xdx o 解由于d(cosx)=- sin xdx,即d(-cosx)= sin xdx,因此得到 sin xdx =-cosx+c
例6.1.1 求 sin x x d 。 解 由于d d (cos ) sin x x x = − ，即d d ( cos ) sin − = x x x ，因此得到 sin cos x x x C = − + d
例6.1.1求∫ Sin xdx o 解由于d(cosx)=- sin xdx,即d(-cosx)= sin xdx,因此得到 sin xdx =-cosx+c 例6.12求∫ (a≠-1) 解由于x+1=x“,因此有 a dx C +1
例6.1.2 求 x x d ，（ −1 ）。 解 由于 x = x + +1 1 1 ，因此有 1 1 1 x x x C + = + + d 。 例6.1.1 求 sin x x d 。 解 由于d d (cos ) sin x x x = − ，即d d ( cos ) sin − = x x x ，因此得到 sin cos x x x C = − + d