§4定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题
应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 §4 定积分在几何计算中的应用
§4定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题 求平面图形的面积 考虑由连续曲线y=f(x),直线 y=f(r) x=a,x=b和y=0(即x轴)所围区域 L X 的面积。 当fx)>0时,面积为∫f(x)dx 百f(x)<0时,面积为∫-f(x)dx 图7.4.1 当f(x)在区间b上不保持定号 时,所要求的面积(如图7.4.1中的阴影部分的面积)应为 S=f(x)|dx
求平面图形的面积 考虑由连续曲线 y = f (x) ，直线 x = a ，x = b和 y = 0（即x 轴）所围区域 的面积。 当 f (x) 0时，面积为 ( )d b a f x x ； 当 f (x) 0时，面积为 [ ( )]d b a − f x x 。 当 f (x) 在区间[a,b] 上不保持定号 时，所要求的面积（如图 7.4.1 中的阴影部分的面积）应为 | ( ) | d b a S f x x = 。 §4 定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 a c b
夹在连续曲线y=f(x)和y=g(x)之间, 左右由直线x=a,x=b界定的那部分区域 的面积(图7.4.2)为 s= If(x)-g(x)ldx g(x) 图74.2
夹在连续曲线 y = f (x) 和 y = g(x) 之间， 左右由直线 x = a ， x = b界定的那部分区域 的面积(图 7.4.2)为 | ( ) ( ) | d b a S f x g x x = −
夹在连续曲线y=f(x)和y=g(x)之间, 左右由直线x=a,x=b界定的那部分区域 的面积(图7.4.2)为 s= If(x)-g(x)ldx g(x) 例7.4.1计算由曲线y=x2和x=y2 图74.2 所围区域的面积。 y 解曲线y=x2和x=y2的交点坐标 y=x 为(00)和(,1),而当x∈[0,],√x≥x2(图 y=√x 7.4.3), 因此,所求的面积为 x Xvx--x 0 图7.4.3
例 7.4.1 计算由曲线 y = x 2 和 x = y 2 所围区域的面积。 解 曲 线 y = x 2 和 x = y 2 的交点坐标 为 (0,0) 和 (1,1) ，而当 x [0,1] ， x x 2 (图 7.4.3)， 因此，所求的面积为 1 2 0 ( )d x x x − 3 1 3 1 3 2 1 0 3 = = x x − x 。 夹在连续曲线 y = f (x) 和 y = g(x) 之间， 左右由直线 x = a ， x = b界定的那部分区域 的面积(图 7.4.2)为 | ( ) ( ) | d b a S f x g x x = −
例7.4.2设(x,y)是等轴双曲线x2-y2=1上的任意一点,求由 双曲线与连接点(x,y)和原点的线段,连接点(x,-y)和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t(图7.4.4)。 图7.4.4
例 7.4.2 设(x, y) 是等轴双曲线x y 2 2 − = 1上的任意一点，求由 双曲线与连接点(x, y) 和原点的线段，连接点(x,− y)和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t (图 7.4.4)