§5无穷乘积 无穷乘积的定义 力.设p,P,∵Pn,“(P≠0)是无穷可列个实数,我们称它 们的“积 为无穷乘积,记为∏pn,其中pn称为无穷乘积的通项或一般项 n=1
无穷乘积的定义 设 p1，p2，…， pn ，…（ pn 0）是无穷可列个实数，我们称它 们的“积” p1 p2 pn 为无穷乘积，记为 n=1 pn ，其中 pn 称为无穷乘积的通项或一般项。 §5 无穷乘积
与级数相类似,需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构 作无穷乘积∏Pn的“部分积数列”{Pn} P P2=P1:P2 P1"·P2P Pn=P1·P2 P P
与级数相类似，需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构 作无穷乘积 n=1 pn 的“部分积数列”｛Pn｝： P1 = 1 p ， P2 = p1 p2 ， P3 = p1 p2 p3 ， … Pn = p p pn 1 2 = = n k pk 1 ， …
定义9.5.1如果部分积数列{P}收敛于一个非零的有限数P 则称无穷乘积∏pn收敛,且称P为它的积,记为 n=1 P P 如果{P}发散或{P}收敛于0,则称无穷乘积∏pn发散
定义 9.5.1 如果部分积数列｛ Pn ｝收敛于一个非零的有限数 P， 则称无穷乘积 n=1 pn 收敛，且称 P 为它的积，记为 n=1 pn = P 。 如果｛ Pn｝发散或｛ Pn｝收敛于 0，则称无穷乘积 n=1 pn 发散
定义9.5.1如果部分积数列{P}收敛于一个非零的有限数P 则称无穷乘积∏pn收敛,且称P为它的积,记为 n=1 P P 如果{P}发散或{P}收敛于0,则称无穷乘积∏pn发散 注意:当mP=0时,我们称无穷乘积∏pn发散于0,而不是 n→ 收敛于0。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道,它使 无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来
注意：当 n n P → lim = 0 时，我们称无穷乘积 n=1 pn 发散于 0，而不是 收敛于 0。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道，它使 无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来。 定义 9.5.1 如果部分积数列｛ Pn ｝收敛于一个非零的有限数 P， 则称无穷乘积 n=1 pn 收敛，且称 P 为它的积，记为 n=1 pn = P 。 如果｛ Pn｝发散或｛ Pn｝收敛于 0，则称无穷乘积 n=1 pn 发散
定理9.5.1如果无穷乘积∏pn收敛,则 (1)lim P=I n→) 2)m∏p m 证设∏Pn的部分积数列为{Pn},则 lim p=lim n→0 n→>P P m n=1 n→)00 n→0 n=m+1 P n=1
定理 9.5.1 如果无穷乘积 n=1 pn 收敛，则 (1) lim n→ Pn = 1； (2) m→ lim n=m+1 pn = 1。 证 设 n=1 pn 的部分积数列为｛Pn｝，则 lim n→ n p =lim n→ n−1 n P P = 1； m→ lim n=m+1 pn = m→ lim = = m n n n n p p 1 1 =1